[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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131(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/14(火) 17:38:18.68 ID:3cFWE/gz(1/2) AAS
”楕円曲線の不変量の一つとして導手 (conductor) があるが，これを計算するためには
Tate のアルゴリズムと呼ばれるものを用いる．
導手は楕円曲線の還元の様子を如実に表す量であり，悪い還元 (bad reduction) を持つような素点が因子として出現する．
逆に言えば，もしも楕円曲線が至る所良い還元を持つならば，導手は自明となる 3. ”
（参考）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1785-08.pdf
数理解析研究所講究録
第 1785 巻 2012 年 57-66
楕円曲線の計算にみる数論システムの進展状況
九州大学大学院数理学府 D2 横山 俊一
現時点では筆者は Pari/GP
と MAGMA の組み込み関数を使い，Sage で統合環境を用意してプログラムを組ん
でいるが，これは要するに 「Pari/GP と MAGMA の良い所取り」である．
例えば楕円曲線の不変量の一つとして導手 (conductor) があるが，これを計算するためには
Tate のアルゴリズムと呼ばれるものを用いる．
導手は楕円曲線の還元の様子を如実に表す量であり，悪い還元 (bad reduction) を持つような素点が因子として出現する．
逆に言えば，もしも楕円曲線が至る所良い還元を持つならば，導手は自明となる 3.
逆に，与えられた導手を持つような楕円曲線のリストを計算する営みも行われている．John
Cremona (Warwick 大学) よるデータベースは，2011 年 12 月 9 日現在で 210,000
以下の導手について公開されている．なお，楕円曲線の考察には他に判別式
(discriminant) が使用されることが多い．但しこの量は楕円曲線のモデルの
取り方に依存する 4 ため，導手等とは異なり不変量とはなりえない．
つづく
132: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/14(火) 17:38:51.92 ID:3cFWE/gz(2/2) AAS
>>131
つづき
注）
3 実は Q 上では Tate によって至る所良い還元を持つような楕円曲線が存在しないことが示され
ている．代数体上ではそのような例が存在し，このとき導手が自明であるとは，導手が自明なイデアル (1) となることである．
4 但しある条件を満たすような代数体上であれば，大域極小モデル (global minimal model) の
存在が保証されている．このモデルに限れば，最小の判別式は unique に定まる．
大抵の場合は二つ目の
導手の計算を行う．そこでは 1 章で述べた通り Tate のアルゴリズムが用いられるわ
けであるが，実はその途中で行われる代数構造 (素イデアル分解等) の計算に膨大
な時間を要する．実際，OS Windows 7 $32bit$ 版，$Inte1^{TM}$ Core-i53. $30GHz$ CPU と
4.00GB メモリを搭載した環境で MAGMA 上で計算を行った所，丸一日 (約 22 時
間$)$ 程を要した．将来的にはこのようなチェックを数多くの曲線に対して行う必要が
あるため，より効率的なアルゴリズムの開発，または現存のアルゴリズムの高速化が
期待される．
このように至る所良い還元を持つ楕円曲線の例をたくさん作る為には，代数体上
の Mordell-Weil 群の計算が欠かせない．この方面の詳細については，拙文 [6] およ
び [7] に書いたのでこちらを参照されたい．
(引用終り)
以上
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