[過去ﾛｸﾞ] IUTを読むための用語集資料集スレ (1002ﾚｽ)
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47(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/06/27(土) 18:35:51.11 ID:jEjJjPRO(3/10) AAS
https://bluexlab.tokyo/1267
bluexlab
2019.10.03 2019.10.04MATH
パーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）とは？理論の概要と参考文献をご紹介【数論幾何の天才Peter Scholze氏の理論】
(抜粋)
「パーフェクトイド空間って一体何？」、「最近、数論幾何の分野でよく聞くパーフェクトイド空間って？」
こんな疑問に大学院でパーフェクトイド空間（Perfectoid Spaces）を研究していた僕がお答えします。
※このブログの他の数学関連の記事と同じように、この記事でも数学的な正確さよりも”なんとなくの雰囲気”重視で書いているため、数学的に不正確な表現や定義があることはご了承ください。
パーフェクトイド空間（Perfectoid spaces）への準備
コホモロジーを使うことで、昔から考えられている数学の問題を”コホモロジーの言葉に変換”して考え直すことができたり、代数幾何だけでなく整数論など他の数学の分野にも応用することができます。
現代の数学（特に、整数論や代数幾何、数論幾何）はこのコホモロジーの研究といっても過言ではないくらいに大切な概念になります。
パーフェクトイド空間（Perfectoid spaces）とは？
これでようやくパーフェクトイド空間の話に戻ってこれます。
代数幾何では多項式で定義された図形をコホモロジーを駆使して研究する分野でした。
パーフェクトイド空間
では、パーフェクトイド空間とは何かと言うと、次のようなp冪の多項式で定義される図形のことを指します。
1/x+p+p2x+……
1/xp+1+px+……
1/xp2+1/xp+……
パーフェクトイド空間では、素数pでたくさん割れる多項式ばかりを考えることになります。
そうすることでいったい何が良いのかと言うと、
パーフェクトイド空間を考えると（使うと）コホモロジーが調べやすくなる
という点が挙げられます。
つづく
97: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/11(土) 21:43:46.11 ID:PRf3fy9U(3/3) AAS
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%A5%95%E5%86%86%E6%9B%B2%E7%B7%9A
楕円曲線
実数体上の楕円曲線
実平面上、楕円曲線は次の方程式により定義される平面曲線としてあらわされる。
y^2=x^3+ax+b
ここに a と b は実数である。
楕円曲線の定義は、曲線が非特異であることも要求される。幾何学的には、このことは曲線のグラフが尖点を持たず、自己交叉せず、孤立点ももたないことを意味する。代数的には、非特異とは判別式
Δ =-16(4a^3+27b^2)
と関係している。曲線が非特異であることと、判別式が 0 でないこととは同値である。（係数 -16 は、非特異であることと無関係に見えるが、楕円曲線の高度な研究ではこのようにしたほうが便利である。）
非特異楕円曲線の（実数の）グラフは、判別式が正であれば、二つの曲線の成分を持ち、負であれば、一つの曲線の成分しか持たない。
https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/thumb/d/d0/ECClines-3.svg/335px-ECClines-3.svg.png
曲線 y^2 = x^3 - x と y^2 = x^3 - x + 1 のグラフ
例えば、図で示されているグラフでは、図中の左は判別式が 64 であり、図中の右は 判別式が -368 である。
127(2): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/07/14(火) 07:43:33.11 ID:vq8RyVMN(5/9) AAS
>>125
下記は、本一冊で、図も多く丁寧な解説ですね
http://tunnel-knot.略.jp/3-manifolds.pdf (URLが通らないので略)
20130503 電子版3 次元多様体入門 森元勘治
電子版 あとがき（ポアンカレ予想の解決）
21 世紀になったばかりの，2002 年頃，ポアンカレ予想が解かれたらしい，という噂が数学者の間を駆け巡りました。
私がポアンカレ予想を身近に感じたのは，大学院博士課程の学生であった 1986 年頃，イ
ギリスの二人の数学者がポアンカレ予想を解いたと言っているらしい，という知らせが入
り，そのプレプリント（正式論文になる前の原稿）が出回ったころでした。そこで，その当
時大阪大学におられた小林毅さんが中心となって，プレプリントの読み合わせが行われま
した。議論は，本書でも紹介したヒーガード分解を用いた証明であり，与えられた多様体の
ヒーガード分解を考え，基本群が自明な群であることを用いて，種数を落とし，最後に種数
0 の S3 になることを示すという手法でした。しかし，細かい議論において，どうしても追
求できないところがあり，どうしたものかと悩んでいる内に，世界の各所で（特にアメリカ
で），議論に不備があるということになり，そのまま立ち消えになってしまいました。また，
1989 年頃，フランスの数学会に出席した折，フランスの数学者が，ポアンカレ予想の解決に
ついて長時間の講演を行っていましたが，聴衆はあまり信憑性を感じていないようでした。
歴史をひもとくと，プリンストン大学において，パパキリヤコプーロスとその後を追いかけ
るハーケンが熾烈な競争を続け，その “証明” を巡って，厳しいやりとりがあったことは，あまりに有名な伝説となっています。
2006 年 8 月 22 日，スペイン・マドリッドの国際会議場で 4 年に 1 度の国際数学者会議が
開催され，開会式において，フィールズ賞の受賞者が紹介されました。私は，その会議場の
2 階奥の席でじっとその時を待っていました。司会者が，ペレルマンにフィールズ賞を授与
することを会場全体に告げました。しかし，ペレルマンは一向に現れません。そして，しば
らくした後，司会者から，「ペレルマンは受賞を辞退し，この会場には現れません」と告げら
れると，会場全体にどよめきともため息とも言えぬ空気が流れました。
(引用終り)
414(1): １３２人目の素数さん [] 2020/08/09(日) 14:27:39.11 ID:O3Ql50FC(3/6) AAS
>Aなる考え方がある一方でBなり考え方もある、という分岐は数学で言えば選択公理じゃが､
え？
532(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/09/10(木) 22:47:13.11 ID:5cvoq+AD(3/5) AAS
>>531
つづき
10 タイヒミュラー空間とモジュライ空間
今回の目標は次の 2 点である：
・ モジュライ空間を定義し，タイヒミュラー空間との関係を明らかにすること．
・ これらの空間の具体例として，トーラスのタ空間とモ空間について概説すること．
タイヒミュラー空間論の源流は「リーマンのモジュライの問題」にあるらしい．
よくわからない定義に出くわしたとき，
・ 無批判的に記憶して，その先はすべて論理で処理する人
・ その意味を自分なりに咀嚼し終わるまで，立ち止まって考えつづける人
のふたつのタイプの人がいる．ただしこれらは極端な例であって，ほとんどの人は両者の中間であ
る．
10.2 モジュラー群，あるいは写像類群
では同一のリーマン面にかんするタ空間の元 [R, f1] と [R, f2] において，マーキングの違いは何
を意味するのであろうか？それは「服の着方の違い」ではあろうが，もうすこし数学的に記述してみ
よう．
10.3 アトラスの分類とタイヒミュラー空間
10.4 トーラスのタイヒミュラー空間
タ空間の具体例として，トーラスのそれが上半平面
H := {x + yi ∈ C : y > 0}
と同一視できることについて概説しよう．15
トーラスのモジュライ空間． トーラスの場合，例外的にモジュライ空間を記述するほうが格段にやさしい：
つづく
562: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/20(火) 18:46:13.11 ID:lsCoo7pb(4/4) AAS
まあ、レベルの証明できないよね、自分のこと
出来るわけないわな
自分のレベルｗｗｗ
602(1): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/25(日) 17:08:18.11 ID:eIdDsFH8(11/19) AAS
>>601
>q-parameters
モジュラー形式のq-展開 q = exp(2πiz) と同様か
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B8%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E5%BD%A2%E5%BC%8F
モジュラー形式
(抜粋)
モジュラー形式論は、もっと一般の場合である保型形式論の特別な場合であり、従って現在では、離散群の豊かな理論のもっとも具体的な部分であると見ることもできる。
例
格子上の函数としての扱い
重さ k のモジュラー形式は複素数全体の成す集合 C における格子 Λ の集合上の函数 F で条件
1.格子 ?α, z? が定数 α と変数 z で生成されるならば、F(Λ) は z の解析函数である。
2.α が 0 でない複素数で、αΛ を Λ の各元に α を掛けることによって得られる格子とするとき、F(αΛ) = α?kF(Λ) を満たす。
3.F(Λ) の絶対値は、 Λ の 0 でない最小の元の 0 からの距離が有界である限りにおいて、有界である。
をみたすものとして考えることができる。k = 0 のとき、条件 2 は F が格子の相似類にしか依らないことを言っている。条件 3 をみたす重さ 0 のモジュラー形式は定数関数のみである。条件 3 を外して、函数が極を持つことを許せば、荷重 0 の場合の例としてモジュラー函数と呼ばれるものを考 えることができる。
このように定めたモジュラー形式 F を複素一変数の函数に変換するのは簡単で、z = x + iy で y > 0 かつ f(z) = F(?1, z?) とすればよい（y = 0 とすると 1 と z が格子を生成できないので、y が正である場合にのみに限って考える）。前節の条件 2 はここでは、（モジュラー群の作用として）整数 a, b, c, d で ad ? bc = 1 を満たすものに対する函数等式
f(az+b / cz+d)=(cz+d)^kf(z)
となる。たとえば
f(-1/z)=F(1,-1/z)=z^kF( z,-1)=z^kF( 1,z )=z^kf(z)
などである。
つづく
656: 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/10/31(土) 12:40:02.11 ID:YFnoOBTS(5/13) AAS
>>655 タイポ訂正
あなた、アンチ日本とうよりも
↓
あなた、アンチ日本というよりも
744(3): 現代数学の系譜 雑談 ◆yH25M02vWFhP [] 2020/11/04(水) 15:06:33.11 ID:lTaOluRt(2/3) AAS
（>>718より、さらに補足）
１．0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............
２．ここに、 S(α) は、後者関数である
３．0, 1, 2, 3, ............の部分は、有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいて、後者関数で表現できるのだ
つまり S(n) ：＝S(n-1) だ。ωのみは、後者関数で表現できない
４．じゃ、ωとは何者よ？ 一つの理解は、S(n)のｎ→∞の極限として理解すること。もう一つは、ωをある種の”コンパクト化”として理解すること
いずれも、可能な限り後者関数の性質を受け継ぐものとしてね。それは、コーシ列とか、リーマン球面の北極点に同じだよ
このとき、ノイマンの後者関数なら、集合としてのω＝N（自然数全体からなる可算無限集合）であり
Zermeloによるシングルトンの後者関数なら、シングルトンでの 0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω)の、ωの位置を占めるものになるよね
それ即ち、順序数ωを意味するシングルトンなり！
５．こう解釈して何が悪い？ 抽象化された現代数学での 有理数以上における 数学的概念の対象って、みんなそんなものでしょ？
これ、（有理）コーシー列による超越数の抽象的な定義に、同じだよね
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E6%95%B0
順序数
順序数の大小関係
順序数の並び方を次のように図示することができる：
0, 1, 2, 3, ............, ω, S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ............,
まず、0 が最小の順序数である。その後に S(0) = 1, S(S(0)) = 2, S(S(S(0))) = 3, ... と有限順序数（自然数）が通常の順序で並んでいる。そして、すべての自然数が並び終えると、次に来るのが最小の超限順序数 ω である。ω の後にはまたその後続者たちが S(ω), S(S(ω)), S(S(S(ω))), ... と無限に続いていく
(引用終り)
以上
930(1): １３２人目の素数さん [] 2020/11/29(日) 19:48:13.11 ID:gjPQIdYs(1/2) AAS
>>921
南部陽一郎「」
山中伸弥「」
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