[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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964(5): １３２人目の素数さん [] 2020/03/30(月) 01:23:24.77 ID:7J+qhxMx(1) AAS
先日はお世話になりました。図形でまた難問にあたったので教えていただけると嬉しいです。
前提はAB=ACだけなのですが、解けるのかこれ、、
https://i.imgur.com/azKedaY.jpg
966(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/03/30(月) 02:57:27.22 ID:psAYFPlW(1/2) AAS
前>>944
>>964
x=30°
973: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/30(月) 07:07:26.67 ID:GANsuobg(1) AAS
>>964
線分CD上に∠FBD＝20°となるように点Fをとる
BC＝BF＝EF＝DFとなることを示せばxを導くことが可能
974: 哀れな素人 [] 2020/03/30(月) 08:19:52.40 ID:7yoNMR67(1) AAS
>>964
それは「ラングレーの問題」という有名な問題。
ラングレーの問題
https://www.youtube.com/results?search_query=%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A9%E3%83%B3%E3%82%B0%E3%83%AC%E3%83%BC%E3%81%AE%E5%95%8F%E9%A1%8C
976: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/30(月) 11:53:04.21 ID:uxzDymBq(2/4) AAS
>>964
∠A = α
∠ABD = (1/3)∠CBD = (60-α)/2,
∠BCE = 30+α,
∠DCE = 30ﾟ
とする。
CD上に点Fを∠ABF=60ﾟになるようにとる。
∠BFC = ∠C より BC = BF,
∠BCE = ∠BEC より BC = BE,
∴ BE = BF と ∠EBF = 60ﾟ より △BEFは正三角形。
∠FBD = 30ﾟ+α/2 = ∠FDB より DF = BF
DF=EF より ∠DEF = ∠EDF
= 60ﾟ+α/2, (← ∠DFE = 60ﾟ- α)
∴ x = ∠EDF - ∠BDC = 30ﾟ
数セミ増刊「数学の問題」第(2)集、日本評論社 (1978)
●21
「ラングレー問題」「フランクリンの凧」と云うらしい･･･
979: イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/03/30(月) 13:30:39.34 ID:psAYFPlW(2/2) AAS
前>>966
>>964
x=30°のとき、
BDとECの交点をPとして、
△AED∽△BEP
∵内角(20°,50°,110°)が等しい。
△AED:△BEP=t:1とおくと、
BC=1,
CD間にFをとって、
BF=EF=DF=1
△ABC∽△BCFより、
CF=1/(t+1)
題意よりAB=AC
AD=t-1/(t+1)
△ABDが二等辺三角形だから、
AP:AD=1:tより、
PD=t-1/(t+1)-(1/t){t-1/(t+1)}
=t-1/(t+1)-{1-1/t(t+1)}
=t-1/(t+1)-1+1/t(t+1)
={t^2(t+1)-t-t(t+1)+1}/t(t+1)
=(t^3-2t+1)/t(t+1)
=(t^2+t-1)(t-1)/t(t+1)
△PFDが二等辺三角形だから、
PF=PD=(t^2+t-1)(t-1)/t(t+1)
BP=(1/t)AD
=1-1/t(t+1)=1-{sin20°/(sin80°-20°)}(sin20°/sin80°)
=0.820779646……
≒0.82
△PBCにおいて正弦定理より、
BP=sin50°/sin70°
=0.815207469……
≒0.82
∴x=30°はかなりあってる。
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