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928(3): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/28(土) 12:25:23.21 ID:EeqfWA+y(1) AAS
平面z=0上の単位円を底円とし、高さがh(>1)の直円柱を考える。
（１）平面z=x+aが直円柱と共有点を持つよう、実数aが動く。aの取り得る値の範囲を求めよ。
（２）（１）で求めたaの範囲の最小値をm、最大値をMとする。
[m,M]から実数を1つ無作為にとり、それをrとおく。
平面z=x+rによる円柱の切断面の面積S(r)がπ以上(2/√3)π以下となる確率を、小数点以下1桁まで求めよ。
小数点の2桁以下は切り捨てよ。
930: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/28(土) 15:39:15.39 ID:GB5uxKLH(1) AAS
>>928
(1)
直円柱は -1≦x≦1 ∩ 0≦z≦h の範囲に含まれるから
-1 ≦ z-x ≦ h+1
∴ aの取り得る値は -1≦a≦ h+1 に限る。
逆に、
-1≦a≦0 のときは (1,0,a+1) を、
0≦a≦h のときは (0,0,a) を、
h≦a≦h+1 のときは (-1,0,a-1) を共有点に持つ。
以上より、aの取り得る値の範囲は -1 ≦ a ≦ h+1.
986(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/31(火) 20:10:22.55 ID:NdCHFxJo(1) AAS
>>928
(2)
m=-1, M=h+1,
z-x = r,
(z+x-r)/√2 = u とおくと
x = u/√2,
z = u/√2 + r,
直円柱の式より断面は
uu/2 + yy ≦ 1, (楕円)
-(√2)r ≦ u ≦ (√2)(h-r),
となる。
-1 ≦ r ≦ min{h-1,1} のとき
S(r) = (√2){arccos(-r) + r√(1-rr)},
Max{h-1,1} ≦ r ≦ h+1 のとき
S(r) = (√2){arccos(r-h) - (r-h)√[1-(r-h)^2]},
min{h-1,1} ≦ r ≦ Max{h-1,1} のとき
S(r) = (√2)π, (h≧2)
S(r) = (√2){arccos(-r) + r√(1-rr) + arccos(r-h) -(r-h)√[1-(r-h)^2] -π},
(h≦2)
988: １３２人目の素数さん [sage] 2020/04/01(水) 00:14:05.71 ID:3A39oS9Q(1) AAS
>>928
>>986
h < 1.1844 のときは S(r) < π で確率は0。
h > 1.1844 のとき S(h/2) ≧ π,
h ≧ 1.3314982535855 のとき
0.3314982535855 ≦ r ≦ h - 0.3314982535855 ⇔ S(r) ≧ π,
h ≧ 1.4104 のとき S(h/2) ≧ 2π/√3,
h ≧ 1.521924793186316 のとき
0.521924793186316 ≦ r ≦ h - 0.521924793186316 ⇔ S(r) ≧ 2π/√3,
変な問題。。。。
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