[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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909(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/26(木) 19:42:03.72 ID:IM17g/m8(5/7) AAS
それほどでもなかった.
g(x,y) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^k /kk
∂[x]∂[y]g(x,y) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^{k-1}
　= (1- (1-xy)^n) / xy　= (1- (1-xy)^n) / (1- (1-xy))
　= Σ[k=0..n-1] (1-xy)^k
∂[x]g(x,y) = ∫dy ... = Σ[k=1..n] (1-(1-xy)^k) / kx　{∵ ∂[x]g(x,0)=0}
　= Σ[k=1..n] y(1-(1-xy)^k) / k(1-(1-xy))
　= Σ[k=1..n] Σ[m=0..k-1] y(1-xy)^m / k
g(x,y) = ∫dx ... = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] { 1- (1-xy)^m }/mk　{∵ g(0,y)=0}

∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /kk
　= g(1,1) = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] 1/mk

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916: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/27(金) 11:03:34.84 ID:GzR1OrPK(3/3) AAS
>>908-909
　１変数でもできそう。。。

f(x) := Σ[k=1..n] a[k] x^k
　= (-1)Σ[k=1..n] C[n,k]/k・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k,

f(1) = Σ[k=1..n] a[k]
　= Σ[k=1..n] 1/k = H[n],

g(x) := Σ[k=1..n] a[k]/k・x^k
　= -Σ[k=1..n] C[n,k]/kk・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k･(Σ[m≧k] 1/m),

g(1) = Σ[k=1..n] a[k]/k
　= Σ[k=1..n] Σ[m=k..n] 1/mk
　= (1/2){H[n]^2 + Σ[k=1,n] 1/kk},

これらより

Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k・x^k = (n+1)g(x) - f(x),
x→1 として
Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k
　= (n+1)g(1) - f(1)
　= ((n+1)/2){H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],

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