[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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887(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/23(月) 19:49:00.11 ID:d4Un7xXa(1) AAS
>>880
どうでもいいことだが、
1*N + 2*(N-1) + ... +(N-1)*2 + N*1 = N(N+1)(N+2)/6
の別証明。

右辺は C(n+2,3) であるが、これを次のように考える。
1,2,3,4,…,n+2 のn+2個の数から3つ選ぶ選び方については
選んだ3つの数を左、真ん中、右と呼ぶことにすると、
真ん中に選ぶ数で場合分けできる。
真ん中が2となる選び方は、左1通り*右n通り。
真ん中が3となる選び方は、左2通り*右(n-1)通り。
真ん中が4となる選び方は、左3通り*右(n-2)通り。
…
真ん中がn+1となる選び方は、左n通り*右1通り。

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895: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/24(火) 00:41:48.96 ID:MOWxPvKi(1/3) AAS
>>887
更にどうでもいいことだが、
　1･N + 2･(N-1) + ････ + (N-1)･2 + N･1
は
　{1 + 2x + 3x^2 + ････ + k･x^(k-1) + ････ }^2
　= (1 + x + x^2 + x^3 + ････ + x^k + ････ )^4
　= 1/(1-x)^4
　= Σ[k=0,∞] Ｃ[k+3, 3] x^k,
における x^(N-1) の係数に等しい。
∴　Ｃ[N+2, 3] = N(N+1)(N+2)/6.

なお　1/(1-x)^a = Σ[k=0,∞] Ｃ[k+a-1, a-1] x^k,

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