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746(5): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/19(木) 22:04:33.79 ID:FC13N0bq(1) AAS
Ｌ個ある数値について
各項目を四捨五入して合計した値と
合計値を四捨五入して合計した値が
一致しない確率は
1-( (6/(π×Ｌ))^(1/2) )
で求まるそうなんです。
問題１ この式の導き方を教えて下さい。
なぜ円周率が・・・？
問題２
毎年、ある会合にかかった費用を、A,B,C,D,Eの５人で支払うことになってます。
費用は毎年変わるのですが、
５人の支払い比率は、a%、b%、c%、d%、e% （a>b>c>d>e>0）
で毎年一定です。
（例えば32.3%、24.1%、21.6%、16.8%、5.2%）
１円未満は四捨五入しますが、一致しなかった時はAで差額（±１円）を調整します。
つまり、AのN年間の調整額の合計の期待値は約０円です（おそらく）。
２０年経ったとき、Aの調整額の合計が＋１０円になる確率はいくらですか？
N年経ったとき、Aの調整額の合計がM円になる確率はいくらですか？
748: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 00:29:17.58 ID:p5Mf5Wxl(1/3) AAS
>>746
L→∞で正規分布が出てくる関係かな？
確率密度関数に1/√(2π)というのがあったような
757: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 07:51:30.64 ID:p5Mf5Wxl(2/3) AAS
>>746
L個の実数を一様分布で抽出して２〜５０でシミュレーションしてみた。
https://i.imgur.com/ppslW60.png
Lが大きくなると1-( (6/(π×Ｌ))^(1/2) )に一致するようです。
数理は賢者にお任せ。
rm(list=ls())
f45 <- function(a) { # 四捨五入
x=a-floor(a) # floor(a):aを超えない整数ガウス記号[x]と同じ,x:小数部分をxに入れる
floor(a)+ (x>=0.5) # xが0.5以上なら１をそうでないなら０を加える
}
f45(1.5) ; f45(2.5)
round(1.5) ; round(2.5)
sim <- function(n=3,k=1e4){
sub <- function(n){
x=runif(n) # 一様分布乱数(実数)ｎ個の配列 roundならrunif(n,0,2)
y=numeric(n) # y：四捨五入での整数を入れる配列
for(i in 1:n) y[i]=f45(x[i]) # ｘの各実数を四捨五入してyに入れる
f45(sum(x))!=sum(y) # xの総和の四捨五入数とyの総和が異なればTRUEを返す
}
r=mean(replicate(k,sub(n))) # k個のシミュレーションでのTRUEの頻度を返す
p=1-( sqrt(6/(pi*n)) ) # 理論値？
return(c(r,p))
}
L=2:50
plot(L,sapply(L,function(x) 1-( sqrt(6/(pi*x)))),bty='l',type='l')
re=t(sapply(L,function(x) sim(x)))
plot(re,bty='l',pch=19,asp=1,xlab='実験値',ylab='理論値',type='l')
abline(a=0,b=1,lty=3)
758: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 08:09:31.37 ID:ULA/5c7b(1) AAS
>>746
それちょっと前に面白い問題スレにでてたやつじゃないの？
答え違ってなかったっけ？
759: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 09:46:50.78 ID:1YkioBb1(3/5) AAS
>>746
ランダム整数: x[i] {なんらかの範囲の一様分布}
ランダム偏差: α[i] ∈ [-0.5,0.5) {一様分布}
A = Σ[i=1,L] round(x[i]+α[i]) = Σ[i=1,L] x[i]
B = round( Σ[i=1,L](x[i]+α[i]) ) = A + round(Σ[i=1,L]α[i])
A=B ⇔ -0.5 < α[1]+α[2]+...+α[L] < 0.5
s := α[1]+α[2]+...+α[L]
中心極限定理より Lが大の時、
確率分布: f(s) ≒ 1/√(2πσσ) * exp(- s^2/(2σσ) )
標準偏差: σ ≒ (√L)* σ1, ( σ1 := √{ ∫[α=-0.5,+0.5] α^2 dα } = 1/√12 )
1-P = ∫[s=-0.5,+0.5] f(s) ds ≒ 1/√(2πσσ) = √(6/(πL))
762(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/20(金) 13:05:55.24 ID:p5Mf5Wxl(3/3) AAS
>>746
四捨五入前の支払いが5.5,4.5,3.5,2.5,1.5とするとAは-2円にならないかな？
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