[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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73(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 22:36:15.32 ID:A6nXAmeV(2/2) AAS
>>72
例えば、
x[n+1]={x[n]-tan^2(π/N)}/{x[n]+1}
とすると、周期N(ただしN>2)　の数列が作れること等が記されています。

これには、微分方程式 du/dt=-b(1+u^2)　が関係してるようです。
普通に微分方程式として解を求めると、 u =-tan(b(t-t0))　で、周期的な解が得られますが、
u[n+1]-u[n]=-δb(1+u[n+1]u[n])
のような差分化を行い、文字を置き換えると、x[n+1]={x[n]-c^2}/{x[n]+1}
となるが、c=tan(π/N)の時、周期性がみられるとの　ことです。

>>71 さんが紹介されたもの以外で、長周期なものとして
x[n]=|x[n-1]|-x[n-2]　　　；周期9
x[n+3]=(a0+a1(x[n+1]+x[n+2])+x[n]*x[n+1])/(x[n]-x[n+2])　　；周期12
x[n+4]=x[n]*x[n+3]/(x[n]*x[n+2]-x[n+1])　　；周期12
等が紹介されています。

>> その本読むとこの不思議な周期性もつ漸化式をボコボコ作れたりします？
どうでしょう？　この本は、「周期を持つものを、このようにして探して、
このようなものを見つけました。」というスタンスで書かれています。

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77: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/13(木) 00:31:02.37 ID:lh+Nk0+2(1) AAS
>>73
なるほど。
無限系列でいくらでもあるというわけではないんですね。
長と春休みに入るので入手してみます。
ありがとうございました。

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87: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/13(木) 07:22:08.71 ID:8bKSb4oB(1/2) AAS
>>73
与式より
　{1-i･tan(π/N)}/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - {1+tan(π/N)}/{x[n] -i･tan(π/N)} = 1,
cos(π/N) を掛けて
　ζ^(-1/2)/{x[n+1] -i･tan(π/N)} - ζ^(1/2)/{x[n] -i･tan(π/N)} = cos(π/N),
ここに
　ζ_N = exp(2πi/N) = {1+i/tan(π/N)}/{1-i･tan(π/N)},
である。(1のN乗根)
そこで
　y[n] = ζ^(-n)/{x[n] - i･tan(π/N)}
とおくと
　y[n+1] - y[n] = cos(π/N)ζ^(-n-1/2),
　y[n+N] - y[n] = cos(π/N)ζ^(-n-1/2)Σ[k=0,N-1] ζ^(-k) = 0,
y[n] は周期Nをもつ。
x[n] も周期Nをもつ。

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