[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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624(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/14(土) 04:01:11.31 ID:Gxl3DqPh(2/2) AAS
m(m+n)-n^2=1…(*)
を満たす正の整数の組(m,n)を考える。

（1）このような(m,n)は無数に存在することを示せ。

（2）(*)を満たすすべてのnにわたって、以下の和（無限和）を計算せよ。
Σ1/(n^2+1)

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628(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/14(土) 13:50:03.60 ID:iH59lf4s(3/4) AAS
>>624
(1)
フィボナッチ数を使って
　(m, n) = (F_{2k-1}, F_{2k})　　　(k：自然数)
とおくと
　m(m+n) - nn = F_{2k-1}F_{2k+1} - F_{2k}^2
　= (-1)^{2k-2}
　= 1,
となり、題意を満たす。これがすべてと思われる。

*)　フィボナッチ数 F_k について
　F_{k+1}･F_{k+3} - (F_{k+2})^2
　= (F_{k+1})^2 - F_k･F_{k+2}
　= ････
　= (-1)^k･{F_1･F_3 - (F_2)^2}
　= (-1)^k.

(2)
　1/(nn+1) = {m(m+n)-nn}/{m(m+n)}
　= n/(m+n) - (n-m)/m
　= F_{2k}/F_{2k+1} - F_{2k-2}/F_{2k-1},
より
　Σ[k=1,K] 1/(nn+1) = F_{2K}/F_{2K+1}
　→ 1/φ = (√5 -1)/2.

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