[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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605(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 20:25:10.90 ID:y9Jt3QH1(5/5) AAS
>>603
m:=2k + 1 {l は 1 と見分けにくいので m にした}
d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m について
(x²-1)...(x²-1) 各項の微分が
「0階項と1階項が同時にある場合」 or「 3階以上の項がある場合」 は消えるので
2階微分項のみからなるパターンを考えればよい.

2階微分のペアリング数: (m-2)!!
　1回目の微分とペアとなる微分は m-2 通り, まだペアを組んでいない次の微分とのペアは m-4 通り, ... }
m項から 2階微分項 (k 個) の(順序付き)選び方: m!/(m-k)!

∫[0,1] d^m/dx^m (x²-1)^m dx
= [ d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m ]{x=0,1} + 0
= [ m!/(m-k)!* (m-2)!! * (x²-1)^{k+1} (2)^k ] {x=0,1}
= m!/(m-k)!* (m-2)!! * (-1)^k * 2^k
= m!*(m-2)!/((k+1)!*(k-1)!) * 2 * (-1)^k
後は好きなように整理してくれ

(m-2)!! = (m-2)(m-4)... 1 = (m-2)(m-3)(m-4)... 1 / {(m-3)(m-4)...2} = (m-2)!/(2k-2)!!
(2k-2)!! = 2^(k-1) * (k-1)!

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606: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 20:30:50.81 ID:plq6CXNf(2/2) AAS
>>604
ありがとうございます、母関数を使った解法も試してみます

>>605
こんなやり方があるんですね……ありがとうございました！

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