[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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503(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/07(土) 10:33:24.26 ID:bfEFgg5v(1) AAS
>>454
1≦t<u<v,　t+u+v=n,
を満たす (t,u,v) が q(n) とおりある、とする。

t>1 の場合は
　(t-1,u-1,v-1) は 1≦ t-1 < u-1 < v-1 を満たし、和が n-3 となる。
　q(n-3) に等しい。

t=1 の場合は
　(u-1,v-1) は 1≦ u-1 < v-1 を満たし、和が n-3 となる。
　[(n-4)/2] = [n/2] -2 とおりある。

これらをたすと漸化式
　q(n) = q(n-3) + [n/2] - 2,
初期値　q(6) = 1,
n が3の倍数のときは
　q(n) = (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2),
一般には
　q(n) = (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2) - (1/3)d(n),
ここに
　mod(n,2) = n - 2[n/2],
　d(n) = 0　(nが3の倍数),　　= 1　(その他)

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514: １３２人目の素数さん [] 2020/03/07(土) 13:59:17.22 ID:J4LoV2eb(3/3) AAS
>>503
回答ありがとうございます。
今、理解に努めています。

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531: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/08(日) 08:38:23.03 ID:xYlNxYaj(1/3) AAS
>>503
U := {(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t,u,v}
#U = C[n-1,2] = (n-1)(n-2)/2,

#{(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t=u<v} = [(n-1)/3],
#{(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t<u=v} = [(n-1)/2] - [n/3],
#{(t,u,v) | t+u+v=n, 1≦t=u=v} = [n/3] - [(n-1)/3] = 1 - d(n),
辺々たすと
#A = #B = #C = [(n-1)/2],
また　A∩B = B∩C = C∩A = A∩B∩C,
　#(A∩B∩C) = 1 - d(n),　　(3|n のとき1, それ以外は0)

#(AＵBＵC)
　= #A + #B + #C - #(A∩B) - #(B∩C) - #(C∩A) + #(A∩B∩C)
　= 3[(n-1)/2] - 2{1-d(n)}
　= 3n/2 -5 + (3/2)mod(n,2) + 2d(n),　　　　　････ (*)

q(n) = (#U - #(AＵBＵC))/6
　= (nn/2 -3n +6 - (3/2)mod(n,2) - 2d(n))/6
　= (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2) - (1/3)d(n),

*)　[(n-1)/2] = (n + mod(n,2))/2 -1,

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