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395(5): １３２人目の素数さん [] 2020/03/03(火) 14:26:35.18 ID:C04HU1Lb(1/5) AAS
パラドックス？？？
下記問題ですが、
https://imgur.com/a/0765i7e
極限値をｘとすると
(√2)^x＝x とおけるので、両辺の対数をとって変形すると
logx^(1/x)＝log2^(1/2) となって
x=2 が解になっていることは分かります。
ところが、(√2)^x＝x の解をグラフで
考えると
y＝(√2)^x ・・? と y=x ・・? の交点のｘ座標が解で
あるが、x=2における?の微分係数は１より小さいので
この点では接していない。つまり交わっている。
?はｘが大きいと微分係数も１より大きくなっていくので、
もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ
になり、極限値が２つあることになっておかしい。
これはどこが間違いですか。
396: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/03(火) 15:10:11.48 ID:kdLcAq7E(1/4) AAS
>>395
logx^(1/x)＝log2^(1/2)でも解は2つあるから「ところが」と論じるのはなんかおかしいように思う
この点は別にして、「(√2)^x＝xとおいてこれを解けばよい」ってのは極限が収束するとわかっている場合なんじゃないか？
399: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/03(火) 16:24:59.90 ID:c1vEOOkk(1/2) AAS
>>395
> もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ
ここ
402: １３２人目の素数さん [] 2020/03/03(火) 16:51:49.67 ID:C04HU1Lb(4/5) AAS
>>395
> もう１箇所交わるところがあるはず。そのときのｘも極限値ということ
ここ
「２回目に交わるところのｘの値は極限値ではない」ということですね。
それはどうやって示せばいいのでしょうか？
414(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/03(火) 19:17:30.71 ID:KGTUQZbA(2/2) AAS
>>395
f(x) = (√2)^x ････ ?
は下に凸だから、x=2 での接線より上側にある。
y > 2 + f '(2)(x-2),
0 < 2 - a[n+1]
< f '(2)(2-a[n])
< ････
< {f '(2)}^n･(2-a[1]),
f '(2) = log(2) = 0.693147 < 1 だから収束 (吸引的)
421: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/04(水) 00:25:11.76 ID:3AxDkYqV(1/5) AAS
>>418
> x=2 におけるf(x)の接線が y=x なら
x=2 における y=f(x) の接線は y = f(2) + f '(2)(x-2) です。
>>395 で
f(x) = (√2)^x ････ ?
とおいたので
f(2) = 2,
f '(2) = log(2) = 0.693147･･･
です
> x=2 における?の微分係数は１より小さいのでこの点では接していない。
> つまり交わっている。
です。
y=f(x) は下に凸だから、
f(x) ≧ f(2) + f '(2)(x-2) = 2 + f'(2)(x-2),
さて、本問に戻って
a[n+1] = f(a[n]) > 2 + f '(2)(a[n]-2),
∴ 2 - a[n+1] < f '(2)･(2-a[n]) < ････
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