[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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302(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/25(火) 02:16:30.25 ID:pNO31yGn(1) AAS
（1）π>3を示せ。
（2）(1+1/n)^nを二項展開することにより、e<3<πを示せ。

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309(1): １３２人目の素数さん [Sage] 2020/02/25(火) 18:29:53.04 ID:KHilL9zo(2/3) AAS
これは簡単だが････
>>302
(1)　πは (円の周長)/(直径) とする。

単位円に内接する正８角形を考え、頂点を
　(1,0)　(1/√2,1/√2)　(0,1)　････
とする。一辺の長さをLとすると
　π > 4L = 4√{(1/2)+(1-1/√2)^2} = 4√(2-√2) > 4/√(√3) = 3.0393

*)　2-√2 > 1/√3 = 0.57735

単位円に内接する正12角形を考え、頂点を
　(1,0)　((√3)/2,1/2)　(1/2,(√3)/2)　(0,1)　････
とする。一辺の長さをLとすると
　π > 6L = 6√{(1/2)^2 + (1-(1/2)√3)^2} = 6√(2-√3) > 6√{(√7)/10} = 3.0862

*)　2-√3 > (1/10)√7 = 0.264575

(2)
　(1+1/n)^n = Σ[k=0,n] Ｃ[n,k] (1/n)^k
　= Σ[k=0,n] {n(n-1)････(n-k+1)/(n^k)} (1/k!)
　< Σ[k=0,n] 1/k!
　< Σ[k=0,∞] 1/k!
　< 1 + 1 + (1/2)Σ[k=2,∞] 1/3^(k-2)
　= 2.75
　n→∞ とする。

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