[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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169(10): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 09:06:29.98 ID:+t2V5SC/(1/2) AAS
今年の難関高校の問題らしいですが、三角比なしでどうやったら良いでしょうか。ご教示ください。
AB=6,BC=10,CA=8の△ABCの外接円をKとする。
弦BCに関してBと反対側にあるKの弧上に点Pをとり、PA+PB+PCが最大となるようにする。
（1）Kの半径を求めよ。
（2）PA+PB+PCの最大値を求めよ。
（3）PA+PB+PCを最大にするPをQとする。Qの位置を求めよ。
（4）Qから直線ABに垂線を下ろし、垂線とQの交点をHとする。CHの長さを求めよ。
172(1): 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 11:04:48.17 ID:vIRKdDZf(1/7) AAS
>>169
（1）△ABCは直角三角形だから、半径＝５
（2）最大になるのはABPCの面積が最大になるときだから17√2
（3）（2）の理由によりBCの平行線が円Kと接する点。
（4）問題文が意味不明。
173: 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 11:22:35.61 ID:vIRKdDZf(2/7) AAS
>>169
（4）垂線とABの延長との交点をHとするという意味なら、√113
181(1): 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 16:52:48.25 ID:vIRKdDZf(3/7) AAS
>>180
>>169の問題の答えだけ書いても質問者は納得できないだろうから、
一応説明しておくと−
（1）は説明省略。
（2）この問題は（3）が一番難しい。僕が考えたのは−
PAの最大値はPAが直径のときで、そのときPA＝BCだから
PA＋PB＋PC≦BC＋BP＋CP
つまりBC＋BP＋CPが最大のときを考えればよく、
BCは一定だからBP＋CPが最大のときを考えればよい。
BP＋CPが最大になるのはどの時かは二つの考え方がある。
? 周長が長いほど面積は大きい。→面積が最大のときを考えればよい。
? 相加平均≧相乗平均より、BP＝CPのときがBP＋CPは最大。
ゆえにBP＝CP＝5√2 APは方べきの定理より7√2
（3）は（2）の説明の通り。
（4）円周角の定理により∠BCQ＝∠BAQ＝45°
ゆえにAH＝7 あとは△AHCに三平方の定理を適用して√113
182: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 16:53:25.31 ID:+4K3m1jQ(1/8) AAS
>>169
初等幾何だけ縛りあるとかなりしんどいけど略解
∠BCD=90°、BD=ACとなるEをBCに関しAと反対側にとる。
Eを半直線BD上にDE=BCととる。
∠DEF=90°、EF=ABとなるFをBCに関してAと反対側にとる。
SをDからFRに下ろした垂線の足とする。
動点Pに対し、半直線CPにD,Fから下ろした垂線の足をQ,Rとする。
この時△ACPの外接円の半径=△DFSの外接円の半径と∠ACP=∠DFSによりAP=DS=QR。
頑張るとPQ=PB、(コレはPの位置により2ケースあってめんどい)
以上によりPA+PB+PC=BRで求める最大値はF=RとなるときでPが直線BF上の時。
186(3): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 18:00:26.11 ID:YlLJTAPA(4/5) AAS
>>169
トレミーの定理使って計算すると
最大値は2*sqrt(145)
PA=120/sqrt(145),PB=90/sqrt(145),PA=80/sqrt(145) のとき
194(1): 哀れな素人 [] 2020/02/21(金) 20:00:36.08 ID:vIRKdDZf(6/7) AAS
これから一時間ほど中断するが、
>>169の問題は高校入試の問題だから、
>>186のような複雑な答えにはならないはずである。
197(1): イナ ◆/7jUdUKiSM [sage] 2020/02/21(金) 21:05:37.23 ID:aeOjnxR9(1) AAS
前>>159
>>169
(1)Kの半径=5
(2)PA+PB+PC=10+8+6=24
(3)Q(1.4,-4.8)
(4)C(5,0)
H(-5.4,0.3)
CH=√(10.4^2+0.3^2)
=√(108.16+0.09)
=√108.25
=10.404326……
問題がおかしいかもよ？
こんな半端な長さ出して意味あんの？
205(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/22(土) 01:22:28.95 ID:ceeKINr6(1/3) AAS
>>169
の既出の答えのまとめ。
AB=c、BC=a、CA=bとおいて弧BCでAを含む側にBD:CD=AB+BC:AC+BCを満たすDをとる。
AB+BC=kBD、AC+BC=kCDなるkをとれば
(AP+BP+CP)BC
=AB・CP+ AC・BP+ BC・BP+ BC・CP (∵トレミー)
=(AC+BC)・BP+ (AB+ BC)・CP
=kCD・BP+kBD・CP
=kBC・DP (∵トレミー)
によりAP+BP+CPが最大となるのはDPが直径となるときである。
すなわちBP:CP=CD:BD=AC+BC:AB+BCとなるときである。
本問ではBP:CP=9:8となるときである。
214(1): 哀れな素人 [] 2020/02/22(土) 13:44:39.59 ID:t1VmBQdA(2/3) AAS
>>169の(4)はたぶん、
QからBCに下ろした垂線の足をHとする、という意味だろう。
それだと答えは128/29である。
215(2): 169 [sage] 2020/02/22(土) 13:59:42.89 ID:cPpHE1j8(1) AAS
>>214
お前の解答はゴミ、正解と全然ちゃうわ。無駄な時間お疲れさん
他の皆様の解答は大筋その方針でOK
難関高校の問題をノーヒントにして設問（3）（4）を追加してみたが、トレミーの定理って高校受験の常識じゃなかったよか、意外に難しかったか
（1）は易しすぎるが高校入試風味を出すために残しておいた
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