[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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1(9): １３２人目の素数さん [] 2020/02/10(月) 00:06:16.90 ID:cjQTE70f(1) AAS
さあ、今日も１日がんばろう★☆
前スレ
分からない問題はここに書いてね457
2chｽﾚ:math
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42(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/11(火) 16:07:32.60 ID:4CbgmQ1j(1/2) AAS
>>41
どんなcとってもa[n]->1にはならなくない？
117: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/16(日) 17:52:13.05 ID:N9QZtxQk(1) AAS
>>112
(2n,n) = n
(2n,n-1) = (2,n-1) (n:奇数のとき2, n：偶数のとき1)
n>1
>>114
(1)
f(x) はRで微分可能である。
f(k) = f(k+1) = 0,
ロルの定理(*)により、
k<ξ<k+1, f '(ξ)=0 なるξがある。
f ' はn-1次多項式だから、各区間にちょうど1つある。
(2) f(n+1-x) = f(x) より
x = (n+1)/2 で極値。
n/2 < x < (n/2)+1,
a[n] = f((n+1)/2) = (-1)^(n/2) {(n-1)!!}^2 /(2^n)
(3) 発散する。
*) 高木：「解析概論」改訂第三版、岩波書店 (1961)
p.47 第２章 微分法, §18.導函数の性質 定理19.
136(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/20(木) 09:54:29.69 ID:ZWVgPXIY(1/2) AAS
>>124
0 < a < 1 < a+b,
このとき
∫[0,∞] f(x)dx = ∫[0,1] f(x)dx + ∫[1,∞] f(x)dx
< ∫[0,1] 1/x^a dx + ∫[1,∞] 1/x^(a+b) dx
= 1/(1-a) + 1/(a+b-1),
a≧1 のとき
x^b + 1 ≦ 2 (0<x<1)
∫[0,1] f(x)dx >∫[0,1] 1/(2x^a) dx = ∞
a+b≦1 のとき
x^b + 1 ≦ 2x^b (x>1)
∫[1,∞] f(x)dx >∫[1,∞] 1/{(x^a)(2x^b)} dx = ∞
171: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/21(金) 10:41:46.61 ID:mzXyLJrP(1/2) AAS
>>123
n=2, k：奇数, k≧3 のとき
f '(x) = -3 +2x -k･x^(k-1) ≦ -3 +2x < -1, (x<1)
= -5/2 - 2(1/2 -x)^2 - {k･x^(k-3) - 2}x^2 < -5/2, (|x|>1)
より f(x) は単調減少。
322: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/26(水) 18:02:45.15 ID:jrzfCjiF(1) AAS
>>321
log_3(a[n]) = b[n] とおく。
a[n+1] = a[n]^(1/4) * 3 のとき
b[n+1] = (1/4) b[n] + 1,
b[n+1] - 4/3 = (1/4) (b[n] - 4/3)
= (1/4^n) (b[1] - 4/3)
a[n+1] = α * (a[1] /α)^(1/4^n) → α=3^(4/3)
a[n+1] = a[n]^(1/8) * 3 のとき
b[n+1] = (1/8) b[n] + 1,
b[n+1] - 8/7 = (1/8) (b[n] - 8/7)
= (1/8^n) (b[1] - 8/7)
a[n+1] = α * (a[1] /α)^(1/8^n) → α=3^(8/7)
x=α では y=x^(1/m) の傾き <1、吸引的
x=0 では y=x^(1/m) の傾き >1、反発的
494: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/06(金) 23:42:01.10 ID:EFqGY3yx(2/2) AAS
"サイコロを10回振るとき、1が1回以上かつ2が2回以上でる確率"
rm(list=ls())
options(digits=22)
# ¬(1が1回以上 ∧ 2が2回以上でる) == 1が０回 ∨ (２が0回 ∨ 2が１回）
N=6^10 # すべての順列
A0=5^10 # 1が0回の場合
B0=5^10 # 2が０回の場合
B1=10*5^9 # 2が１回の場合
A0B0=4^10 # 1が0回の場合∧2が０回の場合
A0B1=10*4^9 # 1が0回の場合∧2が1回の場合
1-(A0+B0+B1-(A0B0+A0B1))/N
N - (A0+B0+B1-(A0B0+A0B1))
N
25073692/60466176
6268423/15116544
# シラミ潰しに数え上げる
library(gtools)
pm=permutations(6,10,rep=T)
f <- function(x){
sum(x==1)>0 & sum(x==2)>1
}
r=sum(apply(pm,1,f)) # 25073692
sim <- function(){
f(sample(6,10,rep=TRUE))
}
mean(replicate(1e6,sim()))
１００万回のシミュレーションでの割合
> mean(replicate(1e6,sim()))
[1] 0.41464000000000001
503(2): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/07(土) 10:33:24.26 ID:bfEFgg5v(1) AAS
>>454
1≦t<u<v, t+u+v=n,
を満たす (t,u,v) が q(n) とおりある、とする。
t>1 の場合は
(t-1,u-1,v-1) は 1≦ t-1 < u-1 < v-1 を満たし、和が n-3 となる。
q(n-3) に等しい。
t=1 の場合は
(u-1,v-1) は 1≦ u-1 < v-1 を満たし、和が n-3 となる。
[(n-4)/2] = [n/2] -2 とおりある。
これらをたすと漸化式
q(n) = q(n-3) + [n/2] - 2,
初期値 q(6) = 1,
n が3の倍数のときは
q(n) = (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2),
一般には
q(n) = (nn/12) - (n/2) + 1 - (1/4)mod(n,2) - (1/3)d(n),
ここに
mod(n,2) = n - 2[n/2],
d(n) = 0 (nが3の倍数), = 1 (その他)
556: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/09(月) 07:14:59.44 ID:V6IMEB5h(2/2) AAS
>>515
Dの頂点(c,b)のbを固定したままcを(水平に)動かす。
CとDが点P(x.y)で接する条件は
(xx-b)^2 -x +c = 0,
4x(xx-b) -1 = 0,
b<3/4 のときは 下の式を解いて
x(P) = (1/2){[1-√(1-B^3)]^(1/3) + [1+√(1-B^3)]^(1/3)},
y(P) = x(P)^2
= (1/4){[1-√(1-B^3)]^(2/3) + [1+√(1-B^3)]^(2/3) +2B},
ただし B =4b/3.
b<3/4 のとき (B<1) 1ヵ所で接する。
b=3/4 のとき (B=1) 2ヵ所で接する。
c = -3/4 P(x,y) = (-1/2,1/4) (変曲点?)
c = 15/16 P(x,y) = (1,1)
b>3/4 のとき (B>1) 3ヵ所で接する。
928(3): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/28(土) 12:25:23.21 ID:EeqfWA+y(1) AAS
平面z=0上の単位円を底円とし、高さがh(>1)の直円柱を考える。
（１）平面z=x+aが直円柱と共有点を持つよう、実数aが動く。aの取り得る値の範囲を求めよ。
（２）（１）で求めたaの範囲の最小値をm、最大値をMとする。
[m,M]から実数を1つ無作為にとり、それをrとおく。
平面z=x+rによる円柱の切断面の面積S(r)がπ以上(2/√3)π以下となる確率を、小数点以下1桁まで求めよ。
小数点の2桁以下は切り捨てよ。
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