[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)

分からない問題はここに書いてね458 http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/

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909: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/26(木) 19:42:03.72 ID:IM17g/m8 それほどでもなかった. g(x,y) := (-1)*Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^k /kk ∂[x]∂[y]g(x,y) = Σ[k=1..n] C{n,k}(-xy)^{k-1} 　= (1- (1-xy)^n) / xy　= (1- (1-xy)^n) / (1- (1-xy)) 　= Σ[k=0..n-1] (1-xy)^k ∂[x]g(x,y) = ∫dy ... = Σ[k=1..n] (1-(1-xy)^k) / kx　{∵ ∂[x]g(x,0)=0} 　= Σ[k=1..n] y(1-(1-xy)^k) / k(1-(1-xy)) 　= Σ[k=1..n] Σ[m=0..k-1] y(1-xy)^m / k g(x,y) = ∫dx ... = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] { 1- (1-xy)^m }/mk　{∵ g(0,y)=0} ∴ Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} /kk 　= g(1,1) = Σ[k=1..n] Σ[m=1..k] 1/mk http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/909

916: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/27(金) 11:03:34.84 ID:GzR1OrPK >>908-909 　１変数でもできそう。。。 f(x) := Σ[k=1..n] a[k] x^k 　= (-1)Σ[k=1..n] C[n,k]/k・(-x)^k 　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k, f(1) = Σ[k=1..n] a[k] 　= Σ[k=1..n] 1/k = H[n], g(x) := Σ[k=1..n] a[k]/k・x^k 　= -Σ[k=1..n] C[n,k]/kk・(-x)^k 　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k･(Σ[m≧k] 1/m), g(1) = Σ[k=1..n] a[k]/k 　= Σ[k=1..n] Σ[m=k..n] 1/mk 　= (1/2){H[n]^2 + Σ[k=1,n] 1/kk}, これらより Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k・x^k = (n+1)g(x) - f(x), x→1 として Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k 　= (n+1)g(1) - f(1) 　= ((n+1)/2){H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n], http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1581260776/916

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