[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除 必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞 あぼーん
このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索 歴削→次ｽﾚ 栞削→次ｽﾚ 過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ
586(3): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 02:45:12.90 ID:y9Jt3QH1(1/5) AAS
>>579 , >>581
これどうやって示すのか誰か教えてください.
x+y+z=π, tan(x) + tan(y) + tan(z) = tan(x)tan(y)tan(z)
a = cot(x), A = ... =1/sin(x) + 1 - cot(x), B= . . .
これで行くのかなと予想は立てたもののスマートな式変形が思い浮かびません.
595: 586 [sage] 2020/03/11(水) 09:20:39.62 ID:y9Jt3QH1(2/5) AAS
tanの加法を二回使って
tan(x+y+z) = (tx + ty + tz - txtytz) / (1 - txty - tytz - tztx)
[公式1] x+y+z = π → tanx + tany + tanz = tanx tany tanz
[公式2] x+y+z = π/2 → tanx tany + tany tanz + tanz tanx = 1
a = cot(x) (0<x<π/2), b= ... と置ける. {∵ 公式1}
A = 1 + 1/sin(x) - cot(x) = 1 + X,
X := (1-cos(x))/sin(x) = 2 sin(x/2)^2 / sin(x) = sin(x/2)/cos(x/2) = tan(x/2)
(2-A)(2-B)(2-C) + ABC = {2(AB+BC+CA) - 4(A+B+C-1)} + 4
(2-A)(2-B)(2-C) + ABC = (1-X)(1-Y)(1-Z) + (1+X)(1+Y)(1+Z)
= 2 + 2(XY+YZ+ZX) = 2 + 2*1 = 4 {∵ 公式2}
∴ (AB+BC+CA) - 2(A+B+C-1) = {(2-A)(2-B)(2-C) + ABC}/2 -2 = 2 - 2 = 0
できた. 幾何学的意味などがあるなら教えて欲しい.
596: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 09:21:39.83 ID:y9Jt3QH1(3/5) AAS
>>591 >>594 ありがとうございます
597: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 12:36:57.91 ID:y9Jt3QH1(4/5) AAS
別解 (最初からこれでよかった)
(AB+BC+CA) - 2(A+B+C-1)
= (1+X)(1+Y)+(1+Y)(1+Z)+(1+Z)(1+X) - 2(3+X+Y+Z -1)
= 3 +2(X+Y+Z) + XY+YZ+ZX - 4 - 2(X+Y+Z)
= -1 + XY+YZ+ZX = 0 {∵公式2}
605(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/11(水) 20:25:10.90 ID:y9Jt3QH1(5/5) AAS
>>603
m:=2k + 1 {l は 1 と見分けにくいので m にした}
d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m について
(x²-1)...(x²-1) 各項の微分が
「0階項と1階項が同時にある場合」 or「 3階以上の項がある場合」 は消えるので
2階微分項のみからなるパターンを考えればよい.
2階微分のペアリング数: (m-2)!!
1回目の微分とペアとなる微分は m-2 通り, まだペアを組んでいない次の微分とのペアは m-4 通り, ... }
m項から 2階微分項 (k 個) の(順序付き)選び方: m!/(m-k)!
∫[0,1] d^m/dx^m (x²-1)^m dx
= [ d^{m-1}/dx^{m-1} (x²-1)^m ]{x=0,1} + 0
= [ m!/(m-k)!* (m-2)!! * (x²-1)^{k+1} (2)^k ] {x=0,1}
= m!/(m-k)!* (m-2)!! * (-1)^k * 2^k
= m!*(m-2)!/((k+1)!*(k-1)!) * 2 * (-1)^k
後は好きなように整理してくれ
(m-2)!! = (m-2)(m-4)... 1 = (m-2)(m-3)(m-4)... 1 / {(m-3)(m-4)...2} = (m-2)!/(2k-2)!!
(2k-2)!! = 2^(k-1) * (k-1)!
上下前次1-新書関写板覧索設栞歴
ｽﾚ情報 赤ﾚｽ抽出 画像ﾚｽ抽出 歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ
ぬこの手 ぬこTOP 0.040s