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251: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 17:19:27.05 ID:x1qWF4GD(1/8) AAS
|exp(iα)| = 1 だから
{exp(iα) | α∈R} の軌跡は１を通り有界な曲線。
櫛歯形などの無限に長い曲線かも知れないが････
252: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:01:23.51 ID:x1qWF4GD(2/8) AAS
>>242
f(z+w) = Σ[k=0,∞] (z+w)^k /k!
= Σ[k=0,∞] Σ[m+n=k] (z^m /m!)(w^n /n!) (2項公式)
= (Σ[m=0,∞] z^m /m!)(Σ[n=0,∞] w^n /n!)
= f(z) f(w) ････ 指数公式
いま
f(iy) = cos(y) + i･sin(y)
とおく。
cos(y) = Re{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k)/(2k)!
sin(y) = Im{f(iy)} = Σ[k=0,∞] (-1)^k y^(2k+1) /(2k+1)!
指数公式
f(iny) = f(iy)^n,
は ド・モァヴルの公式
cos(ny) + i･sin(ny) = {cos(y)+i･sin(y)}^n,
となり、実数部と虚数部に分ければ n倍角公式 が出る。
f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
より
cos(y)^2 + sin(y)^2 = 1,
253(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:04:51.69 ID:x1qWF4GD(3/8) AAS
次に cos(y), sin(y) の零点をさがす。
cos(0) = 1,
cos(2) = Σ[k=0,∞] (-1)^k (4^k)/(2k)!
= 1 -4/(2!) + 16/(4!) - 64/(6!) + ･･･
= 1 -2 +2/3 -4/45 + ････
< 0
0<y<2 に cos(y) の零点 p/2 がある。
cos(p/2) = 0,
sin(p) = 2sin(p/2)cos(p/2) = 0,
0<y<4 に sin(y) の零点pがある。
255: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:14:47.32 ID:x1qWF4GD(4/8) AAS
cos(p) = 2cos(p/2)^2 -1 = -1,
f(i(p/n))^n = f(ip) = cos(p) + i･sin(p) = -1,
f(i2p) = (-1)^2 = 1,
257: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 18:34:32.17 ID:x1qWF4GD(5/8) AAS
指数公式から
f(z+2pi) = f(z)f(2pi) = f(z),
定義(マクローリン展開)から
{sin(y)} ' = cos(y),
{cos(y)} ' = -sin(y),
も出る。
>>254
cos(y)^2 + sin(y)^2 = f(iy)f(-iy) = f(0) = 1,
から有界であることは分かりますが･･･
261(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 20:08:14.65 ID:x1qWF4GD(6/8) AAS
-1が平方剰余.
((-1)/n) = 1.
x^2≡-1 (mod n) が解をもつ.
平方剰余の分布が対称的.
↓
k=1,2,････,n-1 における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k=1,n-1] mod(k^2,n) = n(n-1)/2.
267: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 22:53:46.80 ID:x1qWF4GD(7/8) AAS
nが合成数のときは nと素な元を集めた集合 {k|gcd(k,n)=1、正則元} = (Z/nZ)^ で考える方が良いでしょうね。
そうすれば
-1が平方剰余 (mod n)
↓
(Z/nZ)^ における mod(k^2,n) の平均が n/2.
Σ[k∈(Z/nZ)^] mod(k^2,n) = nφ(n)/2.
φ(n)はオイラーのtotient関数です。
268(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/23(日) 23:29:09.89 ID:x1qWF4GD(8/8) AAS
-1 が平方剰余 (mod n)
n=Πp ならば ((-1)/n) = Π((-1)/p),
〔第一補充法則〕
((-1)/p) = 1 (p=4k+1 または p=2)
= -1 (p=4k+3)
nが 4k+3型の素数pを全部でいくつ含むか、で決まる。
偶数個か0 → +1 → 等号
奇数個 → -1 → 不等号
でしょうか････
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