[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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917: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/27(金) 13:20:44.65 ID:vg0i1FkQ(1) AAS
1変数でやってみた.
f[m](x) := Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1} x^k/k^m
h[m](x) := Σ[1≦k_m≦...≦k_1≦n] (1-(1-x)^{k_m}) / (k_1*k_2*...*k_m)

・f[1](x) = h[1](x) は証明済み.
・f[q](x) = h[q](x) を仮定する.
・f[q+1](x) = ∫[t=0,x]dt f[q](t) / t = ∫[t=0,x]dt h[q](t) / t
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　 　* ∫[t=0,x]dt (1-(1-t)^{k_q})/(1-(1-t))
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　 * Σ[k=0..k_q-1] ∫[t=0,x]dt (1-t)^k
　= Σ[1≦k_q≦..≦k_1≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_q)
　　 * Σ[k=1..k_q] (1-(1-x)^k)/k
　= h[q+1](x)
帰納法により h[m](x)=f[m](x) (m=1..∞)
∴Σ[k=1..n] C{n,k}(-1)^{k+1}/k^m = f[m](0) = h[m](0)
　 = Σ[1≦k_1≦..≦k_m≦n] 1/(k_1*k_2*..*k_m)

何か応用例があるのなら知りたいです.

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