[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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56(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 00:35:29.59 ID:uWBQqkSN(1/6) AAS
g(t) = log(f(e^t)) が下に凸
59(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 04:08:09.70 ID:uWBQqkSN(2/6) AAS
x[1] = a,
x[2] = b,
x[3] = (1+b)/a,
x[4] = (1+a+b)/(ab),
x[5] = (1+a)/b,
x[6] = a,
x[7] = b,
以下周期的
n≧4 に対して
y[n] = (y[n-1] + y[n-2] + 1)/ y[n-3],
によって定められる数列は周期8をもつ。
秋山 仁＋P.フランクル 共著「 [完全攻略] 数学オリンピック」日本評論社 (1991)
p.7-8
60(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 04:14:29.44 ID:uWBQqkSN(3/6) AAS
>>57
g '(t) = (e^t)f '(e^t)/f(e^t) = u f '(u)/f(u),
が単調増加だから
{u f '(u)/f(u)} ' > 0,
ぢゃね？
62(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 06:40:36.49 ID:uWBQqkSN(4/6) AAS
f(u) をマクローリン展開して
f(u) = Σ c_k・u^k, (c_k≧0)
とする。
u f '(u) = Σ k c_k・u^k,
u {u f '(u)} ' = Σ kk c_k・u^k,
コーシーにより
f(u)・u {u f '(u)} ' ≧ {u f '(u)}^2,
∴ {u f '(u)/f(u)} ' ≧ 0,
∴ g(t) = log{f(e^t)} は下に凸。 >>56
70: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 20:29:57.34 ID:uWBQqkSN(5/6) AAS
>>67
[3] 関数 f(x) = 27^x＋27^(-x) - 5(9^x＋9^(-x)) + 3(3^x＋3^(-x)) -10 について、以下の問いに答えよ。
(1) t = 3^x + 3^(-x) とおくとき、f(x) をtで表わせ。
(2) tのとりうる値の範囲を求めよ。
(3) f(x)の最小値と、そのときのxの値を求めよ。
------------------------------------------------------------------------
(1)
>>69 より
f(x) = (t^3 -3t) -5(tt-2) +3t -10 = t^3 -5tt,
(2)
t = 2 + {3^(x/2) - 3^(-x/2)}^2 ≧ 2,
(3)
f(x) + 500/27 = (t+5/3)(t-10/3)^2 ≧ 0,
f(x) ≧ f(10/3) = -500/27.
71(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/12(水) 20:38:00.34 ID:uWBQqkSN(6/6) AAS
>>65 から拝借････
[1] c_n = c_{n-1},
[2] c_n = k - c_{n-1}, c_n = kk/c_{n-1}, c_n = k c_{n-1}/(c_{n-1} - k),
[3] c_n = kk/(k - c_{n-1}), c_n = k(c_{n-1} - k)/c_{n-1}),
[5] c_n = (c_{n-1} +1) /c_{n-2}, (ライネス) (岡山大2019)
[6] c_n = k c_{n-1}/c_{n-2},
[8] c_n = (c_{n-1} +c_{n-2} +1) /c_{n-3}, (トッド)
k：定数
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