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460: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:25:01.78 ID:kLdlq8Gi(1/20) AAS
>>459
#U = (n - 1) * (n - 2) / 2
ではないでしょうか？
461: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:29:56.29 ID:kLdlq8Gi(2/20) AAS
#A = #B = #C = n / 2
ではないでしょうか？
462: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:31:06.60 ID:kLdlq8Gi(3/20) AAS
#A∩B = #B∩C = #C∩A = #A∩B∩C= n / 3
ではないでしょうか？
463(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:42:33.91 ID:kLdlq8Gi(4/20) AAS
>>454
t + u + v = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数をまず求める。
補題：
k を 0 以上の整数とする。
x + y = k
となるような 0 以上の整数の組 (x, y) は、 k + 1 個ある。
証明：
全ての解を並べると、 (0, k), (1, k - 1), …, (k, 0) だから、解は全部で k + 1 個ある。
t = 0 のとき、 u + v = n - t = n + 0 = n となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 n + 1 個ある。
t = 1 のとき、 u + v = n - t = n - 1 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 n 個ある。
t = 2 のとき、 u + v = n - t = n - 2 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 n - 1 個ある。
…
t = n のとき、 u + v = n - t = n - n = 0 となるような 0 以上の整数の組 (u, v) の数は、
補題より、 1 個ある。
∴
t + u + v = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数は、 (n + 1) + (n) + (n - 1) + … + 1 = (n + 1) * (n + 2) / 2 個である。
464(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:46:10.11 ID:kLdlq8Gi(5/20) AAS
次に、
t + u + v = n
となるような 1 以上の整数の組 (t, u, v) の個数を求める。
その個数は、
(t + 1) + (u + 1) + (v + 1) = n
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数に等しい。
t + u + v = n - 3
となるような 0 以上の整数の組 (t, u, v) の個数は、
>>463
より、
(n - 2) * (n - 1) / 2 個である。
465: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:49:14.59 ID:kLdlq8Gi(6/20) AAS
U := {(t, u, v) | t + u + v = n, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
A := {(t, u, v) | t + u + v = n, t = u, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
B := {(t, u, v) | t + u + v = n, u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
C := {(t, u, v) | t + u + v = n, v = t, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
とおく。
467: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:52:15.57 ID:kLdlq8Gi(7/20) AAS
>>464
より、
#U = (n - 2) * (n - 1) / 2 である。
468: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:56:34.14 ID:kLdlq8Gi(8/20) AAS
次に、
2*t + v = n
となるような 1 以上の整数の組 (t, v) の個数を求める。
全ての解を並べると、 (t, v) = (1, n - 2), …, (n/2 - 1, 2) だから、解は全部で n/2 - 1 個ある。
∴
#A = n/2 - 1
である。
469: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 14:57:52.45 ID:kLdlq8Gi(9/20) AAS
同様にして、
#B = n/2 - 1
#C = n/2 - 1
である。
470: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:03:08.51 ID:kLdlq8Gi(10/20) AAS
A ∩ B = B ∩ C = C ∩ A
=
A ∩ B ∩ C
=
{(t, u, v) | t + u + v = n, t = u = v, t, u, v ∈ {1, 2, 3, …}}
=
{(t, t, t) | 3*t = n, t ∈ {1, 2, 3, …}}
である。
471: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:05:59.19 ID:kLdlq8Gi(11/20) AAS
3*t = n
となるような t の個数は 1 個であるから、
#(A ∩ B) = #(B ∩ C) = #(C ∩ A)
=
#(A ∩ B ∩ C)
=
1
である。
473: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:14:47.41 ID:kLdlq8Gi(12/20) AAS
包除原理により、
#(A ∪ B ∪ C)
=
#A + #B + #C
- #(A ∩ B) - #(B ∩ C) - #(C ∩ A)
+ #(A ∩ B ∩ C)
=
3*(n/2 - 1)
- 3*1
+ 1
=
(3/2)*n - 5
である。
#U - #(A ∪ B ∪ C) = (n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5)
474: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:15:47.46 ID:kLdlq8Gi(13/20) AAS
#U - #(A ∪ B ∪ C)
=
(n - 2) * (n - 1) / 2 - ((3/2)*n - 5)
=
(1/2) * (n^2 - 6*n + 12)
475(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 15:19:36.56 ID:kLdlq8Gi(14/20) AAS
#U - #(A ∪ B ∪ C)
は、
t + u + v = n
となるような互いに異なる 1 以上の整数の組の個数である。
t + u + v = n かつ t < u < v
となるような 1 以上の整数の組の個数は、その 1/3! 個である。
∴(1/12) * (n^2 - 6*n + 12)
である。
481: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:14:18.29 ID:kLdlq8Gi(15/20) AAS
n-1C2
これは、
a + b + c = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/3−1)×3
これは、
a + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
a + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/6−1)×3
これは、
a + b + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
482: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:15:01.51 ID:kLdlq8Gi(16/20) AAS
訂正します：
n-1C2
これは、
a + b + c = n かつ 1 ≦ a, b, c
となるような解の数です。
(n/3−1)×3
これは、
a + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
a + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
(n/6−1)×3
これは、
a + b + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + a + b = n かつ 1 ≦ a < b
b + b + a = n かつ 1 ≦ a < b
となるような解の数です。
483: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:18:34.07 ID:kLdlq8Gi(17/20) AAS
1
これは、
a + a + a = n かつ 1 ≦ a
となるような解の数です。
486(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:38:14.73 ID:kLdlq8Gi(18/20) AAS
n = 18 の場合を考えます。
binomial(n - 1, 2) は以下の解に対応します。
{1, 1, 16} = {t, u, v}
{1, 2, 15} = {t, u, v}
{1, 3, 14} = {t, u, v}
{1, 4, 13} = {t, u, v}
{1, 5, 12} = {t, u, v}
{1, 6, 11} = {t, u, v}
{1, 7, 10} = {t, u, v}
{1, 8, 9} = {t, u, v}
{2, 2, 14} = {t, u, v}
{2, 3, 13} = {t, u, v}
{2, 4, 12} = {t, u, v}
{2, 5, 11} = {t, u, v}
{2, 6, 10} = {t, u, v}
{2, 7, 9} = {t, u, v}
{2, 8, 8} = {t, u, v}
{3, 3, 12} = {t, u, v}
{3, 4, 11} = {t, u, v}
{3, 5, 10} = {t, u, v}
{3, 6, 9} = {t, u, v}
{3, 7, 8} = {t, u, v}
{4, 4, 10} = {t, u, v}
{4, 5, 9} = {t, u, v}
{4, 6, 8} = {t, u, v}
{4, 7, 7} = {t, u, v}
{5, 5, 8} = {t, u, v}
{5, 6, 7} = {t, u, v}
{6, 6, 6} = {t, u, v}
(n/3 - 1)×3 は以下の解に対応します。
{1, 1, 16} = {t, u, v}
{2, 2, 14} = {t, u, v}
{3, 3, 12} = {t, u, v}
{4, 4, 10} = {t, u, v}
{5, 5, 8} = {t, u, v}
(n/6 - 1)×3 は以下の解に対応します。
{2, 8, 8} = {t, u, v}
{4, 7, 7} = {t, u, v}
1 は以下の解に対応します。
{6, 6, 6} = {t, u, v}
487: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:43:52.04 ID:kLdlq8Gi(19/20) AAS
>>480
の解答では、包除原理を使わないで済みますね。
489: １３２人目の素数さん [] 2020/03/06(金) 17:58:57.40 ID:kLdlq8Gi(20/20) AAS
ジィエンジィエン、自演じゃありません。
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