[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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329(4): １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 00:14:49.59 ID:jpva1bJt(1/2) AAS
Nが1より大きい整数のとき、複素数や複素平面を使わずに
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
を証明せよ。

Nが偶数の時は単位円をN等分してみれば対称性からすぐ証明できます。
Nが奇数の時が難しくて悩んでいます。
お願いします。
幾何学的に解くのか、三角関数の公式を駆使して解くのか、数学的帰納法は「N」が分母にいるから難しそうだし・・・・。

複素平面を使えば証明は簡単です。
exp[i(1×2π/N)]、exp[i(2×2π/N)]、. . . exp[i(N×2π/N)]
はN次方程式
x^N-1=0
の解なので解と係数の関係から
exp[i(1×2π/N)]+exp[i(2×2π/N)]+・・・+ exp[i(N×2π/N)]=0
となります。これの実部が
cos(1×2π/N)+cos(2×2π/N)+・・・+cos(N×2π/N) = 0
です。

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347: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/28(金) 21:19:44.63 ID:jpva1bJt(2/2) AAS
>>331
>>329です
ありがとうございます。感謝します

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