[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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768(12): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 11:08:01.27 ID:XWnhFsyt(1/23) AAS
定義
・２つの無限列s1,s2∈R^Nが、ある項から先の項が全て一致するとき「同値」
・無限列s∈R^Nの「決定番号」dとは、無限列の同値類の代表元の
一致箇所の先頭となる項の箇所の番号
さてゲームをはじめよう
出題者は無限列を100列用意する
ただし回答者には列の番号（１〜100）だけ示す
回答者は列の番号を１つだけ選ぶ
出題者は残りの99列を回答者に示す
回答者は99列の決定番号の最大値Dを知る
出題者は、回答者が選んだ１列の、
D+1番目の項から先を回答者に示す
回答者はD+1番目の項から先の情報から
選んだ列の代表元を知る
まだ示されてない選んだ列のD番目の項が
代表元の項と一致すれば 回答者の勝ち
代表元の項と違っていれば出題者の勝ち
さて回答者が勝つ確率は？
（出展 数学セミナー2015年11月号 「箱入り無数目」）
769(5): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 11:08:54.91 ID:XWnhFsyt(2/23) AAS
>>768の続き
ここで、ある読者が以下のような発言を行った
2chｽﾚ:math
（要旨）
「当たる確率は0だ
無限列の同値関係は認める
同値類の代表元の存在も認める
しかし決定番号dの存在は認めない！
決定番号が存在しなければゲームは成立しない」
上記の発言は正しい？
定義（再掲）
・２つの無限列s1,s2∈R^Nが、ある項から先の項が全て一致するとき「同値」
・無限列s∈R^Nの「決定番号」dとは、無限列の同値類の代表元の
一致箇所の先頭となる項の箇所の番号
上記同値類の代表元は、同値類のどの要素とも同値
したがって、決定番号は自然数とならざるを得ない筈だが？
777(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 14:12:08.53 ID:XWnhFsyt(3/23) AAS
>>770
＞同値でないと決定番号存在しない
いかなる無限列もある同値類の要素ですから
当然、自分の所属する同値類の代表元と同値です
その場合、同値関係の定義として、代表元との一致箇所が存在します
それが無限列の決定番号ということです
したがっていかなる無限列にも存在します
＞…から、問題になってないけど？
>>768の問題は「回答者が勝つ確率は？」です
778(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 14:14:35.06 ID:XWnhFsyt(4/23) AAS
>>775
>>同値類の代表元の存在も認める
>なぜ？
選択公理によって各同値類から代表元が選出できる
というのが元記事の説明です
779(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 14:20:37.09 ID:XWnhFsyt(5/23) AAS
>>776
＞結局回答者は最初に一つ数字を選んだだけで
ええ
＞そのあと選び直しも何もできない
一旦決めたら選びなおしはできませんね
＞なら意味ない
とはいえません 同じゲームを他の人にやってもらうことは可能です
人によって選ぶ列は異なりますから
＞そもそも元の100列の実数列の分布も与えてないのに確率もへったくれもない
実はどの人にやってもらう場合にも、元の100列は変えません
100列の実数列はどんなものを持ってきてもかまいません
この場合、分布は「回答者がどの列を選ぶか」だけで、
それは全くのランダム（一様分布）です
これだけで答えが求まります
781(3): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 14:40:02.23 ID:XWnhFsyt(6/23) AAS
>>780
測度空間は２＾｛１，２，・・・，１００｝ですね
>>768の記事にはもちろん答えは書いてあります
実際に尋ねたい問いは>>769のほうですが、
もとの問題を知らないと理解できないので
>>768の問いもあわせて書かせていただきました
答えを書くのは簡単ですが、
>>768の問についても
しばし、お考えください
(ヒント）
回答者が選んだ数列の決定番号をｄとしたとき
回答者が勝つのは、ｄとDがいかなる関係になっているときか？
782: １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 14:41:23.97 ID:XWnhFsyt(7/23) AAS
>>781
誤 >>768の記事
正 >>768の記事中の「出展」
790: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 15:09:54.18 ID:XWnhFsyt(8/23) AAS
>>784
2^100は、100個の有限集合のべき集合
＞100個の無限数列じゃないの？
無限数列自体は固定してます
つまり、分布を考える必要はありません
792(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 15:13:22.47 ID:XWnhFsyt(9/23) AAS
>>785
＞選んだ数列がなんで有るか分からないんだから
＞回答者が勝つも勝たないも無いでしょ？
実は選んだ100列がいかなるものであっても
回答者が選んだ場合負ける「はずれの列」の個数がほぼ決まっています
したがって、100列からどの1列を選ぶ確率も1/100なら
回答者が勝つ確率もほぼ決まります
793(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 15:16:28.39 ID:XWnhFsyt(10/23) AAS
>>788
＞100個のどれが勝つ物か負ける物か
＞予め決まっていてもそれは知らされていないんだから
＞確率分布には成らない
>>792にも書きましたが、実は負ける列の個数は
決まっていますので確率は決まります
ついでにいえば、知る知らない、は
確率分布かどうかとは無関係ですね
795: １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 15:19:23.12 ID:XWnhFsyt(11/23) AAS
>>786-787
100列の数列は固定します したがって分布を考える必要はありません
数列空間上での関数の可測性も、実は考える必要がありません
796(2): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 15:35:10.85 ID:XWnhFsyt(12/23) AAS
>>794
＞負ける列はたかだか1列だから
気付きましたね
そうなんです 100列を選んだ場合
１．決定番号が最大値となる列が1列だけ存在する→１列だけ「負ける列」
２．決定番号が最大値となる列が2列以上存在する→「負ける列」なし
となります
（１の場合決定番号が最大値の列を選ぶとｄ＞D、
２の場合どの列を選んでも ｄ＜＝D）
１の場合、回答者が勝つ確率は99/100
２の場合、回答者が勝つ確率は１
ですね
798(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 16:02:32.90 ID:XWnhFsyt(13/23) AAS
>>797
＞選んだ列の決定番号がちょうどd、
＞つまり残り99列の決定番号がたまたま選んだ烈の決定番号と
＞一致する場合には・・・
>>796で書いた通り、負ける列がないので
どの列を選んでも回答者が勝ちます
＞回答者が勝ちになる箱が99箱なのか100箱なのかわからない
99の場合もあれば100の場合もある ということで4649
799(1): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 16:06:42.83 ID:XWnhFsyt(14/23) AAS
>>784の式ですが
p(選んだ列の決定番号<=D)×1
+p(選んだ列の決定番号>D)×0
でよいですね
800: １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 16:09:10.44 ID:XWnhFsyt(15/23) AAS
>>799だとDが一定みたいに見えるな
以下のように書くのがいいか
p(選んだ列の決定番号<=他の99列の決定番号の最大値)×1
+p(選んだ列の決定番号>他の99列の決定番号の最大値)×0
804: １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 16:54:49.48 ID:XWnhFsyt(16/23) AAS
>>801
>>769についてコメントお願いします
>>802
２つの場合があることを述べた上で
それぞれの確率を答えればいいですね
>>803
場合分けしていただいたほうがいいですね
806(2): １３２人目の素数さん [] 2020/03/21(土) 17:06:57.33 ID:XWnhFsyt(17/23) AAS
>>805
根本的には
「１００本の線があるあみだくじで外れが１つの場合
あたる確率を求めよ」
というのと同じだと思いますが如何ですか？
上記の問題で
「あみだくじ全体の空間における個々のあみだくじが選ばれる確率」
なんて考えないでしょう？
813(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 18:52:29.68 ID:XWnhFsyt(18/23) AAS
>>807
＞本当は考えねばならないことを省略してるだけ
それは問題に対する根本的な誤解があるね
815(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 18:58:44.21 ID:XWnhFsyt(19/23) AAS
>>812
＞まずこの問題文ではダメ
あなたの修正もイイかダメかといわれれば・・・ダメですね
ダメその１
＞残った99個の決定番号の最大値よりも選んだ決定番号が小さければ勝ち
「（最大値）より小さい」ではなく「（最大値）以下」ですね
ダメその２
＞大きければ勝ち負け決まらない？
大きければ負け、でいいですよ
（幸運にも一致する場合はあるが、そこは確率０とすることができるから）
上記のダメ出しをさせていただいた上で
＞これって数列関係なくて
＞100個の中で最大を選ぶかどうかってことじゃない？
ええ、その通りですよ
＞予め最大の数値は決められているから
＞それを無作為に選ぶかどうかの1/100ってことか
ええ、その通りですよ
＞ここまでは結局数列関係ないじゃん？
ええ、その通りですよ
まさか数列が最も重要だと思ってたんですか？
816(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 19:04:04.15 ID:XWnhFsyt(20/23) AAS
>>814
＞決定番号は定義できると思うよ
そうでしょう
できないという人は、同値類を誤解してるんでしょう
＞けれど最初の問題文では
＞何に対する決定番号であるかを説明していない
説明していないのではなく、
説明を理解できていないのでしょう
理解できるまで読む必要がありますよ
＞その点をハッキリさせないと
＞上記のように言う人が居てもおかしくないのでは？
「決定番号が有限でない」という主張は
決定番号の説明が理解できないというのとは
根本的に異なる、と思いますよ
817: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 19:07:00.65 ID:XWnhFsyt(21/23) AAS
>>814
＞なんだか回りくどいこと言って煙に巻くだけ
数学書の定義の記述はだいたいそういうものですけどね
位相の定義なんてその最たるものですね
なんで、こんな定義してるのか一回読んだだけでは分からない
そこで我慢できずに近道を探そうとする人は数学には向きませんね
なんか別のことをやったほうがいいとおもいますよ
824(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 19:21:11.62 ID:XWnhFsyt(22/23) AAS
>>819-820
重要であることを強調し
そうでないことは強調しない
忖度とは無関係
当然のことですけどね
827(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/21(土) 19:30:59.41 ID:XWnhFsyt(23/23) AAS
>>768の文章を書いたのは、元の記事のままでは
掲示板では長すぎると思ったのが第一だが、
無限個の確率変数とか可測性とかいう脇道を
可能な限り削ったほうがいいと思ったこともある
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