[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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53: １３２人目の素数さん [sage] 2020/02/11(火) 23:40:49.68 ID:RWh5pgaL(1) AAS
>>41
(1)
a[n]→1 (n→∞)かつa[n]≠1と仮定すると、十分大きいn>Nに対して0<|a[n]-1|<1/2が成り立つ
しかし|a[n+1]-1|=|(a[n]-1)(a[n]+4)|/(2-a[n])^2>2|a[n]-1|だから矛盾する
したがってa[n]が1に収束するための必要十分条件は、あるk≧1においてa[k]=1になることであり
cの範囲は集合A[1]∪A[2]∪A[3]∪...に属すること
ここでA[1]={1}, A[2]={4}, A[n+1]={(1+4x+√(1+8x))/(2x)|x∈A[n]}∪{(1+4x-√(1+8x))/(2x)|x∈A[n]}

(2)
c∈A[k]のとき
a[n]=1 (n≧k)
よりX=Σ[i=1,k-1](a[i]-1)とすると
b[n]=1+X/n (n≧k)
と求まり
log(b[n]b[n+1]...b[2n-1])=Σ[i=0,n-1]log(b[n+i])
=Σ[i=0,n-1]log(1+X/(n+i))
→Σ[i=0,n-1]X/(n+i)
→X log2 (n→∞)
より
log(c[n])→(1/n)X log2→0 (n→∞)
c[n]→1 (n→∞)

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