[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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901(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/25(水) 00:53:30.65 ID:/JBpNTYO(1/3) AAS
>>899
Σ[k=1..n]a[k] = Σ[k=1..n] C{n,k} (-1)^{k+1}/k
= Σ[k=1..n] ∫[x=0,1]dx C{n,k} (-x)^{k-1}
=lim[ε→∞] ∫[x=ε,1]dx ( x^{-1} - x^{-1}(1-x)^n )
=lim[ε→∞] ∫[x=ε,1]dx x^{-1} - ∫[x=0,1-ε]dx (1-x)^{-1} x^{n} )
=lim[ε→∞] -log(ε) - Σ[k=n+1..∞](1-ε)^k/k
=lim[ε→∞] -log(ε) - Σ[k=1..∞](1-ε)^k/k + Σ[k=1..n](〜)
=lim[ε→∞] -log(ε) + log(1-(1-ε)) + Σ[k=1..n](〜)
= Σ[k=1..n] 1/k
= {Σ[k=1..n] 1/k - ln(n)} + ln(n)

lim[n→∞]Σ[k=1..n]a[k]/ln(n) = 0.5772.../∞ + 1 = 1

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902: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/25(水) 00:54:49.21 ID:/JBpNTYO(2/3) AAS
lim[ε→∞] じゃなくて lim[ε→0]

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903: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/25(水) 14:39:45.07 ID:/JBpNTYO(3/3) AAS
>>899 問(2)
Σ[k=1..n]Σ[j=1..k] a[j]/j = Σ[j=1..n]Σ[k=j..n] a[j]/j = Σ[j=1..n] (n-j+1) a[j]/j
= (n+1)Σ[j=1..n]a[j]/j　-　Σ[j=1..n]a[j]

Σ[j=1..n]a[j]/j
= Σ[j=1..n] C{n,j} ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy (-xy)^{j-1}
= ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy {1 - (1-xy)^n }/{1 - (1-xy)}
= ∫[x=0,1]dx ∫[y=0,1]dy 1 + (1-xy) + ... + (1-xy)^{n-1}
= ∫[x=0,1]dx 1 + (1-x/2) + ... + (1-(1-x)^n)/nx
= ∫[x=ε,1]dx Σ[k=1,n] 1/xk - x^{-1}(1-x)^k/k
= Σ[k=1,n] { 1/k * (-ln(ε)) - ∫[x=0,1-ε]dx (1-x)^{-1} x^k/k }
= Σ[k=1,n] { 1/k * (-ln(ε)) - {Σ{[m=1,∞] - Σ[m=1,k]} (1-ε)^m/mk }
= Σ[k=1,n]Σ[m=1,k] 1/mk
= { Σ[k=1,n]Σ[m=1,n] 1/mk + Σ[k=1,n] 1/kk }/2
= { (γ+ln(n)+α)^2 + π^2/6 + β }/2　　【 γ=0.5772..., α→ 0, β→ 0 (n→∞) 】

∴ lim[n→∞] { Σ[k=1..n]Σ[j=1..k] a[j]/j }/ { n*ln(n)^2 } = 1/2
分母は勝手に変えさせてもらった

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