[過去ﾛｸﾞ] 分からない問題はここに書いてね458 (1002ﾚｽ)
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913(1): １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/27(金) 01:30:07.86 ID:GzR1OrPK(1/3) AAS
>>910 訂正

　Σ[j=1..n] a[j]/j = Σ[k=1..n] {C(n,k) (-1)^(k-1)} /kk
　= Σ[k=1..n] (1/k) Σ[m=1..k] 1/m
　= Σ[k=1..n] H[k] /k
　= (1/2)H[n]^2 + (1/2)Σ[k=1,n] 1/kk,
は出た。　しかし k<n に対して
　Σ[j=1..k] a[j]/j
を出すのが難しく　(∵ a[j] は陰にnに依存する｡)　(2) に使えそうにない。。。

むしろ
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j] /j
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) a[k] /k
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) {C[n,k] (-1)^(k-1)}/kk
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 - Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
とする方が早いかな

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915: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/27(金) 02:32:03.81 ID:GzR1OrPK(2/3) AAS
>>913 また間違えた。
　Σ[k=1..n] Σ[j=1..k] a[j] /j
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) a[k] /k
　= Σ[k=1..n] (n+1-k) {C[n,k] (-1)^(k-1)}/kk
　= {(n+1)/2}{H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],
　　　　　　　　　　↑

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916: １３２人目の素数さん [sage] 2020/03/27(金) 11:03:34.84 ID:GzR1OrPK(3/3) AAS
>>908-909
　１変数でもできそう。。。

f(x) := Σ[k=1..n] a[k] x^k
　= (-1)Σ[k=1..n] C[n,k]/k・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k,

f(1) = Σ[k=1..n] a[k]
　= Σ[k=1..n] 1/k = H[n],

g(x) := Σ[k=1..n] a[k]/k・x^k
　= -Σ[k=1..n] C[n,k]/kk・(-x)^k
　= Σ[k=1..n] (1-(1-x)^k)/k･(Σ[m≧k] 1/m),

g(1) = Σ[k=1..n] a[k]/k
　= Σ[k=1..n] Σ[m=k..n] 1/mk
　= (1/2){H[n]^2 + Σ[k=1,n] 1/kk},

これらより

Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k・x^k = (n+1)g(x) - f(x),
x→1 として
Σ[k=1..n] (n+1 - k) a[k]/k
　= (n+1)g(1) - f(1)
　= ((n+1)/2){H[n]^2 ＋ Σ[k=1,n] 1/kk} - H[n],

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