[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 (1002ﾚｽ)
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939(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/03(金) 21:47:45.82 ID:ivt0JCXh(31/37) AAS
確かに、モッチーの∈-loops固執わからんな
別に、∈に固執する必要もない気がする
基礎論で、自己言及の論理というのがある
その場合、自己言及のパラドックスが起きる可能性がある
だから、20世紀に、一階述語論理が重用された時代があった
論理がループするんだ
モッチーは、基礎論詳しくないのかな？（＾＾；
圏論の方（例えばZFCG）が、ループする高階論理になじむと思うがね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E8%A8%80%E5%8F%8A
自己言及
(抜粋)
自己言及（じこげんきゅう）とは、自然言語や形式言語で文や式がそれ自身に言及することである。
自己言及は数学、哲学、コンピュータ・プログラミング、言語学などで研究・応用されている。その場合自己参照とも呼ぶ。自己言及文は逆説的振る舞いを示すことがある（自己言及のパラドックス）。
計算機科学では、リフレクションにおいて自己参照が発生する。リフレクションとは、プログラムが自身の構造をデータのように読み取ったり書き換えたりする技法である。様々なプログラミング言語がリフレクションをサポートしているが、それらの表現能力の程度は様々である。さらに自己言及は再帰や数学の漸化式にも見られる。
数学
非叙述性 (impredicativity)
グラフにおけるループ (en)
タッパーの自己言及式 (en)
自己記述数
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E8%87%AA%E5%B7%B1%E8%A8%80%E5%8F%8A%E3%81%AE%E3%83%91%E3%83%A9%E3%83%89%E3%83%83%E3%82%AF%E3%82%B9
自己言及のパラドックス
(抜粋)
哲学および論理学における自己言及のパラドックス（じこげんきゅうのパラドックス）または嘘つきのパラドックスとは、「この文は偽である」という構造の文を指し、自己を含めて言及しようとすると発生するパラドックスのことである。この文に古典的な二値の真理値をあてはめようとすると矛盾が生じる（パラドックス参照）。
「この文は偽である」が真なら、それは偽だということになり、偽ならばその内容は真ということになり……というように無限に連鎖する。同様に「この文は偽である」が偽なら、それは真ということになり、真ならば内容から偽ということになり……と、この場合も無限に連鎖する。
つづく
942: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/03(金) 21:57:29.87 ID:ivt0JCXh(34/37) AAS
>>939 参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%9C%8F%E8%AB%96
圏論
(抜粋)
歴史
一般的な圏論、つまり、意味論的な柔軟性をもち高階論理との親和性があるようなより現代的な普遍的代数が発展し、現在では数学全体を通して応用されている。
トポスと呼ばれる特別な種類の圏は、数学基礎論としての公理的集合論に取って代わることすら可能である。
他の分野への影響
これの応用として関数型プログラミングの理論および領域理論がある。
これらは全て、ラムダ計算の非構文的な記述として適用されたデカルト閉圏を背景としている。
圏論的言語を用いることで、関連する分野が厳密に、（抽象的な意味で）何を共有しているのかを明らかにすることができる。
943(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2020/01/03(金) 23:18:24.04 ID:ivt0JCXh(35/37) AAS
>>939
追加補足
逆数学： IUTに”どの程度の集合存在公理が必要かを問う”べし
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B0%E7%90%86%E8%AB%96%E7%90%86%E5%AD%A6
数理論理学
集合論に共通の公理からは証明することができない幾つかの命題が存在することも知られた。
現代の数学基礎論では、全ての数学を展開できる公理系を見つけるよりも、数学の一部がどのような特定の形式的体系で形式化することが可能であるか（逆数学のように）ということに焦点を当てている。
圏論の分野では多くの形式公理的方法を用いる。それには圏論的論理（英語版）の研究も含まれる。しかし圏論は普通は数理論理学の下位分野とは見做されない。
圏論の応用性は多様な数学の分野に亙っているため、ソーンダース・マックレーンを含む数学者らは、集合論とは独立な数学のための基礎体系としての圏論を提案している。
これはトポスと呼ばれる古典または非古典論理に基づく集合論の成す圏に類似の性質を持つ圏を基礎に置く方法である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%8D%E5%B8%B0%E7%90%86%E8%AB%96
再帰理論
(抜粋)
再帰理論は、数理論理学の一分野で、1930年代の計算可能関数とチューリング次数の研究が源となっている。
数理論理学における再帰理論の研究者がよく扱うのは、この記事で触れる相対的な計算可能性、還元性の概念、次数構造などである。
これらは、計算機科学における計算可能性理論が、計算複雑性理論、形式手法、形式言語などを主な研究対象とすることと対照を成す。これら二つの研究コミュニティには知識と手法の面で重なる部分が多々あり、はっきりした境界を引くことは出来ない。
逆数学
逆数学のプログラムは、二階算術の中の部分体系において、ある定理を証明するのにどの程度の集合存在公理が必要かを問うものである。
この研究は Harvey Friedman が創始し、Stephen Simpson らが進めた。Simpson（1999）で、これに関する詳細が議論されている。
対象となる集合存在公理は、自然数のべき集合が様々な還元可能性の概念の下で閉じていることを言う公理群とほぼ対応している。
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