現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

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105: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [] 2019/11/23(土) 07:53:31.43 ID:iKDSmfWl

>>96
>余接ベクトル場 f1 dx1 + f2 dx2 + … + fn dxn の事を 微分 1 形式という。

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A5%E6%9D%9F
接束
（接ベクトル束から転送）
(抜粋)
微分幾何学において、可微分多様体 M の接束（せっそく、英: tangent bundle, 接バンドル、タンジェントバンドル) は M の接空間の非交和[注釈 1]である。つまり、
{\displaystyle TM:=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M=\bigcup _{x\in M}(\{x\}\times T_{x}M)=\bigcup _{x\in M}\{(x,v)\mid v\in T_{x}M\}.}{\displaystyle TM:=\bigsqcup _{x\in M}T_{x}M=\bigcup _{x\in M}(\{x\}\times T_{x}M)=\bigcup _{x\in M}\{(x,v)\mid v\in T_{x}M\}.}
ただし TxM は M の点 x における接空間を表す。なので、TM の元は対 (x, v)、ただし x は M の点で v は M の x における接ベクトル、と考えることができる。π(x, v) = x で定義される自然な射影

{\displaystyle \pi :TM\twoheadrightarrow M}
が存在する。この射影は各接空間 TxM を一点 x に写像する。

接束には（下のセクションで記述される）自然な位相が入る。この位相によって、多様体の接束はベクトル束（ファイバーがベクトル空間であるファイバー束）の典型的な例である。
TM の断面は M 上のベクトル場であり、TM の双対束は余接束で、M の余接空間の非交和である。定義により、多様体 M が平行化可能（英語版） (parallelizable) であることと接束が自明であることは同値である。
定義により、多様体 M が 枠付き（英語版） であることと接束 TM が stably trivial、すなわちある自明束 E に対しホイットニー和 (Whitney sum) TM ? E が自明であることは同値である。
例えば、n 次元球面 Sn はすべての n に対して枠付きであるが、（Bott-Milnor と Kervaire の結果によって）n = 1, 3, 7 に対してのみ平行化可能である。

役割
接束の主な役割の1つは滑らかな関数の微分の定義域と終域を提供することである。すなわち、M と N を滑らかな多様体として、f: M → N が滑らかな写像であれば、その微分（英語版） は滑らかな写像 Df: TM → TN である。

位相と滑らかな構造
接束には自然な位相（非交和位相ではない）が入り、それ自身多様体になる。TM の次元は M の次元の 2 倍である[注釈 2]。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/105

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