現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

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38: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/11/17(日) 14:33:37.38 ID:ybAPn3Jm

ブレイド群(braid group)（組みひも群とも呼ぶ）の歴史は、英文と比較すると、むちゃ誤訳やね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%96%E3%83%AC%E3%82%A4%E3%83%89%E7%BE%A4
数学において、n 本の糸のブレイド群(braid group)（組みひも群とも呼ぶ）は、Bnと記し、
直感的には幾何学的に描かれる群であり、ある意味で 対称群 Sn を一般化する。
ここに n は自然数であり、n > 1 であれば、Bn は無限群（英語版）(infinite group)である。
ブレイド群は、結び目をあるブレイド（組みひも）の閉じた形として表現することができるので、結び目理論に応用を持つ。

目次
1 はじめに
1.1 直感的な記述
1.2 数学的な扱い
1.3 歴史

歴史
ブレイド群は1925年にエミール・アルティン(Emil Artin)により明示的に導入された。、しかし、（1974年にウィルヘルム・マグナス（英語版）(Wilhelm Magnus)が指摘しているように[1]、)すでに暗には、ブレイドは、1981年のアドルフ・フルヴィッツ(Adolf Hurwitz)のモノドロミーの仕事の中に現れていた。
実際、マグナスは、フルヴィッツはブレイド群を配置空間の基本群として解釈していて（組みひも理論を参照）、
1962年にラルフ・フォックス（英語版）(Ralph Fox)とレー・ノイヴィルス（英語版）(Lee Neuwirth)により再発見されるまで、
この見方をもたらす解釈は失われていた。

https://en.wikipedia.org/wiki/Braid_group
Braid group

History
Braid groups were introduced explicitly by Emil Artin in 1925, although (as Wilhelm Magnus pointed out in 1974[10]) they were already implicit in Adolf Hurwitz's work on monodromy from 1891.

Braid groups may be described by explicit presentations, as was shown by Emil Artin in 1947.[11] Braid groups are also understood by a deeper mathematical interpretation: as the fundamental group of certain configuration spaces.[11]

As Magnus says, Hurwitz gave the interpretation of a braid group as the fundamental group of a configuration space (cf. braid theory), an interpretation that was lost from view until it was rediscovered by Ralph Fox and Lee Neuwirth in 1962.[12]

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/38

40: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/11/17(日) 15:26:39.86 ID:ybAPn3Jm

メモ
小松彦三郎先生は、東京理科大へ行かれたのか
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~kyodo/kokyuroku/contents/pdf/1257-9.pdf
数理解析研究所講究録 1257 巻 2002 年 88-121
リーマンの 「?複素変量の関数一般論のための基礎」
東京理科大学理学部 小松彦三郎 (Hikosaburo Komatsu)
山形県立鶴岡工業高校 井上 鉄也 (Tetsuya Inoue)

東京理科大学大学院理学研究科に 3 年前理数教育専攻という新しい専攻ができた。今度の学習指
導要領で 「総合的な学習の時間」 という従来の学科とは全く異なる教科が新設されるのを先取りし
て、 これに対応できる理系の教師を養或するのが目的である。私は、 はからずも、 この専攻の担当
となり、 数学史を研究する学生を受け入れることにした。数学史の研究は必然的に総合的な学習と
なるからである。私は、 まず、 学生に原典を 1 っ選ひ、 それを始めから終ゎりまで完全に読むよう
に指導している。私が見た数学史の本の多くは他の数学史家が書いたものを論拠として議論を進め
ており、 数学を作った人たちの真意を正 $\circ$しくとらえてぃるかどぅかよくゎからない。その上、 人が
本を読んで知ることができることは、読む前からその人が知ってぃたことにごくゎずかをっけ加え
るに過ぎない。重要な文献は、 人をかえ、 時代をかえて繰り返し読まれるべきものである。
この論文は平或 12 年 3 月に修士課程を修了した井上鉄也君の修士論文『原論文にみるリーマンの関
数論「?複素変量の関数一般論のための基礎」 につぃて』 の第 3 章である Bernhard Riemann
の博士論文 Grundlagen fiir eine allgemeine Theorie der Hhnctionen einer ver\"anderlichen
complexen Gr\"osse の全訳を多少手直ししたものである。 テキストとしては H. Weber が編集し
た全集の Dover 社版を用いた。最近 Springer 社から新しい全集が出版されたが、 第 15 節の後の
3 つの星印を除いてテキストに異同はないようである。私の知るかぎり、 これまで日本語に訳され
たものはない。

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/40

42: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/11/17(日) 15:32:25.74 ID:ybAPn3Jm

関連
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リーマンに学ぶ複素関数論 ―1変数複素解析の源流 2019/6/25
高瀬正仁 (著)
(抜粋)
商品の説明
内容紹介
1変数複素関数論のはじまりの景色を眺めよう. リーマンは学位論文「1個の複素変化量の関数の一般理論の基礎」(1851年)において,複素変数関数論の基礎理論を構築しました.本書のねらいは,この論文に現れたリーマンのアイデアを再現することです
リーマンの言葉に丹念に耳を傾けて,リーマンの心情に寄り添いながら学位論文を読み解いていきましょう. (「はじめに」より抜粋)

内容（「BOOK」データベースより）
数学を創ろう!リーマンの学位論文を読もう!

著者略歴 (「BOOK著者紹介情報」より)
高瀬/正仁
昭和26年(1951年)、群馬県勢多郡東村(現在みどり市)に生れる。数学者・数学史家。専門は多変数関数論と近代数学史。2009年度日本数学会賞出版賞受賞。

単行本: 181ページ
出版社: 現代数学社

1件のカスタマーレビュー
トップレビュー
susumukuni
VINEメンバー
5つ星のうち5.0愛好家ならばぜひ読みたいリーマンの学位論文を解読する素敵な書
2019年7月1日
Amazonで購入
リーマンの有名な学位論文「1複素変数関数の一般論の基礎」（1851年11月）を解読する面白い書が刊行された。
「1変数複素解析の源流」という副題が添えられているが、この学位論文では1変数複素解析の基礎とされるコーシーの積分定理・積分公式、留数定理、有理型関数の特異点での挙動、などには触れられていない。
何故なら、本質的に多価関数である1変数の代数関数を自在に扱える基盤を確立し、その上で代数関数とその積分（アーベル積分）の理論を展開することがリーマンの真意であったからである。
複素解析の歴史に詳しい方は、1851年の学位論文が前半部の基盤の構築に相当し、1857年の有名な論文「アーベル関数の理論」が後半部の代数関数とアーベル積分論の展開に相当することをご存知であろう
（『リーマン論文集』（朝倉書店、2004年）の第1章と第3章にこれらの邦訳と解説があるので、興味がある方はぜひ精読されることをお薦めしたい）。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/42

48: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/11/17(日) 21:48:57.57 ID:ybAPn3Jm

Inter-universal geometry と ABC予想 42
https://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1572150086/206-
206  投稿日：2019/11/17(日) 17:03:11.84 ID:p1FBlCNS
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎

>単遠アーベル的復元は, “所望の手続きの存在を証明する” ことが目的なのではなく,“所望の手続きを与 える” ことが目的である.
特に, 主張の中にその手続きを書くべきとされる.

下記か
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140311_report.pdf
絶対 Galois 群による数体の復元
星 裕一郎 (京都大学 数理解析研究所)
2014 年 5 月
(抜粋)
本稿は, 早稲田大学で開催された “第 18 回早稲田整数論研究集会” において 2014 年 3 月 11 日
に星が行った講演 “Reconstruction of a Number Field from the Absolute Galois Group” の報
告原稿である. 基本的には講演の内容をただ纏めたものであるが, 一方, ここでは, 全体を通じて, 講
演での説明よりも丁寧なそれを与えたつもりである.

・ K を体とする. K が Q のある有限次拡大と同型であるとき, K は NF (= Number Field)
であると言うことにする. ある素数 p が存在して K が Qp のある有限次拡大と同型であるとき, K
は MLF (= Mixed-characteristic Local Field) であると言うことにする.

1 Neukirch ・ 内田の定理と単遠アーベル的復元
本稿の主題は, 以下の問に対する考察である.
問: 与えられた NF をその絶対 Galois 群から復元することはできるか?
この問の 1 つの古典的な肯定的解答として, 次の Neukirch ・ 内田の定理を挙げること
ができる ([12], Theorem; [13], Theorem を参照*1).
Neukirch ・ 内田の定理. □ ∈ {°, ・} に対して, F□ を大域体 (つまり, NF か, ある
いは, 有限体上の 1 変数代数関数体), F □ を F□ の分離閉包, G□
def = Gal(F □/F□) を
F □ を基点とする F□ の絶対 Galois 群とする. また, Isom(F°/F°, F・/F・) を体の同型
射 F°?→ F・ であって全単射 F°?→ F・ を誘導するもの全体のなす集合, Isom(G・, G°) を
位相群の同型射 G・?→ G° 全体のなす集合とする. このとき, 共役による写像
Isom(F°/F°, F・/F・) ?→ Isom(G・, G°)は全単射である.

つづく

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/48

49: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/11/17(日) 21:50:05.04 ID:ybAPn3Jm

>>48
つづき

F°, F・ を NF, G°, G・ をその絶対 Galois 群とすると, この定理によって, 特に, F° と
F・ が体として同型であることと, G° と G・ が位相群として同型であることが同値である
ことがわかる. つまり, NF の絶対 Galois 群の位相群としての同型類によって, その NF
の同型類が完全に決定される. 別の表現を用いれば, 絶対 Galois 群は NF に対する “完
全な不変量” であるということがわかる. この意味において, “その絶対 Galois 群によっ
て NF を復元することができる” と考えることが可能であろう.
一方, 望月新一氏は, [8] の中で, “そもそも復元とは何か?” という問についての考察を
行い, そこで, “双遠アーベル的復元”, “単遠アーベル的復元” という考え方を提唱した.
この考え方のある側面を簡単に述べてしまうと, これは, “何を遂行すれば所望の復元が完
了したと考えるか” という “復元という行為の完了の基準” の設定の問題であると言える
であろう. 本稿の主題である問の場合に, “双的な復元, 双遠アーベル的復元” の復元完了
基準を具体的に述べれば, 例えば以下のようになる.

今回の講演の内容は, 2013 年 7 月 12 日に “早稲田整数論セミナー” で星が行った
講演 “数体の乗法的情報による加法構造の復元” に直接的な関連のあるものとなっております. (こ
の講演では, この原稿の 3.1 で説明した内田の補題の数体版の “双版” ? つまり, [3] の内容 ? に
ついてお話をしました.)
(引用終り)

2013 年 7 月 12 日に “早稲田整数論セミナー”ではないが
“数体の乗法的情報による加法構造の復元”関連
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talks.html
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/talk20140804.pdf
乗法的情報による加法構造の復元
(全4回; 計5時間; 乗法的情報による加法構造の復元),
京都大学数理解析研究所 数学入門公開講座,
京都大学数理解析研究所,
2014.8.4-2014.8.8.
以上

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1573769803/49

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