現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

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403: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 10:07:07.22 ID:s6Tab8iq(1/13) AAS
>>402
なんか、コピペが二重になっているな
ま、ご愛敬

404(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 10:27:41.78 ID:s6Tab8iq(2/13) AAS
>>397
＞James Borger

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E4%B8%80%E5%85%83%E4%BD%93
一元体 F1
Borger は有限体や整数環からdescentを用いて[8]、F1 を構成している。

[8]
Borger, James (2009), Λ-rings and the field with one element

https://en.wikipedia.org/wiki/Field_with_one_element
Field with one element F1
Borger used descent to construct it from the finite fields and the integers.[12]

[12]
https://arxiv.org/abs/0906.3146
https://arxiv.org/pdf/0906.3146.pdf
Λ-RINGS AND THE FIELD WITH ONE ELEMENT JAMES BORGER 2009
Abstract. The theory of Λ-rings, in the sense of Grothendieck’s Riemann?
Roch theory, is an enrichment of the theory of commutative rings. In the
same way, we can enrich usual algebraic geometry over the ring Z of integers
to produce Λ-algebraic geometry. We show that Λ-algebraic geometry is in a
precise sense an algebraic geometry over a deeper base than Z and that it has
many properties predicted for algebraic geometry over the mythical field with
one element. Moreover, it does this is a way that is both formally robust and
closely related to active areas in arithmetic algebraic geometry.

つづく

405(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 10:28:37.87 ID:s6Tab8iq(3/13) AAS
>>404
つづき

Introduction
Many writers have mused about algebraic geometry over deeper bases than the
ring Z of integers. Although there are several, possibly unrelated reasons for this,
here I will mention just two. The first is that the combinatorial nature of enumeration formulas in linear algebra over finite fields Fq as q tends to 1 suggests that,
just as one can work over all finite fields simultaneously by using algebraic geometry over Z, perhaps one could bring in the combinatorics of finite sets by working
over an even deeper base, one which somehow allows q = 1. It is common, following Tits [60], to call this mythical base F1, the field with one element. (See also
Steinberg [58], p. 279.) The second purpose is to prove the Riemann hypothesis.
With the analogy between integers and polynomials in mind, we might hope that
Spec Z would be a kind of curve over Spec F1, that Spec Z ?F1 Z would not only
make sense but be a surface bearing some kind of intersection theory, and that we
could then mimic over Z Weil’s proof [64] of the Riemann hypothesis over function
fields.1 Of course, since Z is the initial object in the category of rings, any theory
of algebraic geometry over a deeper base would have to leave the usual world of
rings and schemes.

つづく

406: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 10:29:03.86 ID:s6Tab8iq(4/13) AAS
>>405
つづき

The most obvious way of doing this is to consider weaker algebraic structures
than rings (commutative, as always), such as commutative monoids, and to try using them as the affine building blocks for a more rigid theory of algebraic geometry.
This has been pursued in a number of papers, which I will cite below. Another natural approach is motived by the following question, first articulated by Soul´e [57]:
Which rings over Z can be defined over F1? Less set-theoretically, on a ring over
Z, what should descent data to F1 be?
The main goal of this paper is to show that a reasonable answer to this question
is a Λ-ring structure, in the sense of Grothendieck’s Riemann?Roch theory [31].
More precisely, we show that a Λ-ring structure on a ring can be thought of as
descent data to a deeper base in the precise sense that it gives rise to a map from
the big ´etale topos of Spec Z to a Λ-equivariant version of the big ´etale topos of
Spec Z, and that this deeper base has many properties expected of the field with
one element. Not only does the resulting algebraic geometry fit into the supple
formalism of topos theory, it is also arithmetically rich?unlike the category of sets,
say, which is the deepest topos of all. For instance, it is closely related to global
class field theory, complex multiplication, and crystalline cohomology.
(引用終り)
以上

407(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 19:19:28.35 ID:s6Tab8iq(5/13) AAS
メモ
https://mathsoc.jp/publication/tushin/index18-2.html
「数学通信」第１８巻第２号目次 2013
https://mathsoc.jp/publication/tushin/1802/abe-saito.pdf
阿部知行氏の平成 25 年度文部科学大臣表彰
若手科学者賞受賞に寄せて
東京工業大学理工学研究科理学研究流動機構
斎藤　秀司
(抜粋)
阿部氏に出会ったのは，私が 2004 年に東大数理に赴任して最初の年，彼がまだ大学 3
年生の時である．Deligne の Weil 予想の証明 (Weil II) を勉強したいので付き合ってほし
いと個人的に頼みを受けた．ご存知の方も多いかと思うが，この論文は EGA はもちろん
SGA といった代数幾何の最先端理論を駆使した難解な論文であり，こんな論文を大学３
年生がはたしてどれほど理解できるのかといぶかりながら始めたセミナーであった．が，
彼の理解度は驚くほど深く，その類まれなる才能には目を見張らされた (東大に赴任した
ばかりだったので，東大生はみなこんなにできるのかと驚愕したのだが，これについて
は私の思い過ごしであることがのちに判明している)．修士課程に入って私が指導教官と
なってからも最先端の理論を次々に吸収していく様は見事というしかない．このような逸
材を「研究指導」の名のもとに私の狭量な数学のなかに制約することは憚れる思いであっ
たのだが，そうこうするうちに「数論的 D 加群」という私の専門を逸脱した研究テーマ
を自分で勝手に見つけてくれた．私は立場上は大学院指導教官ではあるが，彼との数学交
流において多くを学ばせてもらっているのは私の方であると感じている．
阿部氏の研究のエッセンスを抜き出して表現すると，大局的な視野に立った問題意識，
問題の本質を見通す深い洞察力，そこから湧き上がる着想を実現する強力な計算力，そし
て忘れてならないのは，阿部氏の数学に脈々と流れる豊かな感性である．阿部氏の数学に
は，多くの優れた業績に共通する芸術的ともいえる美的感覚がある．実は，阿部氏はピア
ニストとしても人並み外れた才能を持っており，彼の音楽的感性が数学にも表現され恩恵
をもたらしているのだろう．

つづき

408(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 19:20:27.33 ID:s6Tab8iq(6/13) AAS
>>407
つづき

阿部氏の業績を解説するためにまず，その中核をなす「数論的 D 加群」について簡単
に歴史的背景を説明しよう．有限体上の多様体の L 関数に関する Weil 予想に触発された
Grothendieck は，一般の体 (特に有限体) k 上の代数多様体にたいして定義される良いコ
ホモロジー理論 (Weil コホモロジー) のひとつとして ? 進エタール・コホモロジーを導入
した．ここで ? は k の標数 p とは異なる素数で，? 進エタール・コホモロジーは k の絶対
ガロア群が自然に作用する Q? 上の線形空間である．これは C 上の代数多様体の特異コホ
モロジーの数論的類似物とみることができる．しかし，? 進エタール・コホモロジーは代
数多様体の p 進的性質に関する情報を十分に与えるものではないため，Qp 上の線形空間
に値を取る p 進コホモロジー理論の構成が求められることになる．滑らかでアファインな
代数多様体にたいしては Monsky と Washnitzer が，滑らかで固有なときは Grothendieck
がそのようなコホモロジー理論を構成した．Berthelot はこれらを統合かつ一般化して，
リジッド・コホモロジーと呼ばれる一般の代数多様体にたいする p 進コホモロジー理論を
構成した．さらに Berthelot はリジッド・コホモロジーの変動理論ともいえる数論的 D 加
群の理論を提唱した．リジッド・コホモロジーは標数 0 の体上の代数多様体に対するド・
ラーム・コホモロジーの正標数類似であり，数論的 D 加群は柏原らによって詳細に研究
された D 加群の理論の正標数類似と考えられる．数論的 D 加群の構成は標数 0 の場合よ
りはるかに難解で，まず多様体をそれが定義されている体を剰余体とする完備離散付値環
上の形式的スキームに持ち上げ，その上の無限階数を許した微分作用素環を適当な位相に
ついて完備化して定義される．数論的 D 加群は数論幾何の諸問題へのさまざまな応用が
期待される強力な理論である．しかし，いまだ多くの未解決問題が存在する未完成な理論
でもある．
つづく

409: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 19:21:22.30 ID:s6Tab8iq(7/13) AAS
>>408

つづき

阿部氏は，数論的 D 加群の理論の基礎付けにおいて重要な業績を挙げたのみならず，
Deligne の小同志予想，p 進係数のラングランズ対応，高次元分岐理論といった数論幾何
学の重要問題への応用を与えた．以下これらを解説する．

数論的 D 加群の理論の基礎付けと p 進係数ラングランズ対応 ([Ab6])

(引用終り)
以上

410(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 20:40:15.13 ID:s6Tab8iq(8/13) AAS
https://www.jsps.go.jp/j-toplevel/data/08_followup/H25reports/H25Report_j_KavliIPMU.pdf
世界トップレベル研究拠点プログラム（WPI）2013
拠点形成報告書（延長審査用）
(抜粋)
数論幾何学の歴史は Weil の予想から始まったと言うことができる。彼の予想は、我々の住む
世界とは全く異なるように見える有限体上の世界が、馴染みの位相幾何的な構造をもつことを示
唆していた。それに触発され、Grothendieck は有限体上の多様体に対するコホモロジー論を構築
した。それらは、有限体の標数 pとは異なる任意の素数Ｌに対するＬ進エタール・コホモロジーと
クリスタリン・コホモロジー（p進論）と呼ばれている。Ｌ進コホモロジー論は特異コホモロジー
論の類似物と見なせ、多様体の位相的な性質を反映していると言える。複素幾何学では、特異コホ
モロジーは微分形式を用いることによって計算されるド・ラーム・コホモロジーと同等であること
が知られている。この幾分微分幾何学的な手法の有限体上の類似物がp進コホモロジー論である。
無限に多くのコホモロジー論があるならば、その間の関係を知りたくなるのは自然なことであ
る。ラングランズ対応(LC)の哲学に影響され、Deligne は、数学で最も影響力のある論文の一つで
ある、いわゆる“Weil II”の中で、「Ｌ進同志」および「クリスタリン小同志」の存在についての
予想を提起した。この予想は、大まかに言えば、どのコホモロジー論を用いるかにかかわらず、コ
ホモロジーの情報は本質的には同じであることを主張している。曲線の場合のＬ進同志の存在につ
いては、関数体に対する LC を確立することにより、Drinfeld が部分的に、Lafforgue が完全に示
した。この功績で彼らはフィールズ賞を受けている。後に、この結果を用いて Deligne と Drinfeld
は、取り扱えない場合もあるものの、より一般的な多様体に対してＬ進同志を構成した。

つづく

411(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 20:40:35.26 ID:s6Tab8iq(9/13) AAS
>>410
つづき

阿部知行
の主な成果は、p進論に対する LC の類似物を確立し、曲線の場合のクリスタリン小同志の存在を示
したことである[14]。このためにはp進コホモロジー論における基礎的で困難な一連の研究、即ち、
epsilon 因子の積公式、重さの理論の構築、p進論のある種のスタックに対する 6 つの関手の枠組
みを構築すること、が必要とされた[14,15]。これらの成果は、いずれもp進論においては達成困難
とされていたものである。彼は Berthelot によって導入された数論的????加群の理論を系統的に用い
たが、これは理論の複雑性の故に専門家が回避しがちであったものである。彼の結果は、p進コホ
モロジー論の基礎を完成させると同時に、Ｌ進係数の圏より遙かに広いp進微分方程式の圏を用い
て有限体上の多様体の「モチヴィックな特性」を研究する途を開くものである。

つづく

412(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 20:41:24.73 ID:s6Tab8iq(10/13) AAS
>>411
つづき

研究成果 12：有限群とカラビ・ヤウ・ジオメトリの間の新しい関係の発見
大栗博司の長期的な研究目的の一つは、超弦理論のコンパクト化において、厳密な結果を発見
することである。彼は1989年の博士論文で、K3と呼ばれる4次元カラビ-ヤウ空間上の超弦理論のコ
ンパクト化を研究し、粒子のスペクトルがいわゆる楕円種数にまとめられることを示した。驚くべ
きことに、楕円種数をN=4の超共形代数の指標で展開すると、その展開係数が正の整数になること
がわかった。しかし、これが何を意味するのかを見出すのには、その後20年の年月がかかった。2010
年に、大栗は江口徹、立川裕二と共に、これらの整数が最大マシュー群 M24の表現の次元であるこ
とを発見した[19]。このことから彼らはK3の楕円コホモロジーはM24の表現であると予想した。彼ら
の予想の弱いバージョンはマシュー・ムーンシャインと名付けられ、これはその後、アルバータ大
学の数学者Terry Gannonによって、2013年に証明された。

つづく

413(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 20:41:43.62 ID:s6Tab8iq(11/13) AAS
>>412
つづき

マシュー・ムーンシャイン予想の本質的な要素の一つは、ラマヌジャンによって発見された、
擬モジュラー形式である。ここで、1987年に開催された、ラマヌジャン生誕百周年記念の会議での
フリーマン・ダイソンの講演記録から引用しよう。「擬テータ関数は今後発見されるであろう壮大
な統一像がどんなものかについてワクワクするようなヒントを与える。私の夢は、生きているうち
に、超弦理論の予言を自然界の事実に一致させようという若手物理学者の努力の末、解析的な手法
が擬テータ関数を含むように拡張されるのを見ることだ。」マシュー・ムーンシャインは、擬モジ
ュラー形式、マチュー群、カラビ・ヤウ多様体と超弦理論のコンパクト化の壮大な統一像を示すこ
とにより、ダイソンの夢を実現するものである。過去数年、大栗博司の発見は物理学者、数学者の
双方により精力的に研究されている。それが世界的にインパクトを与えた証拠として、マシュー・
ムーンシャインに関する国際会議がチューリッヒのETH、ストーニーブルックのサイモンズ・セン
ター、ロンドンのインペリアル・カレッジで開催されていることを指摘したい。
[20]において、大栗と山崎雅人（当時は学生、現在は教員）は、カラビ-ヤウ多様体の滑らか
な幾何が、結晶溶解の統計力学的模型の熱力学的極限から得られることを示した。彼らは、特に、
結晶溶解の模型の特性多項式のロンキン関数を、対応するカラビ-ヤウ多様体の正則3形式に関連
付けることによって、溶けた結晶の熱力学的分配関数が、トポロジカルな超弦理論の分配関数の古
典的極限に等しいことを示した。

つづく

414: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 20:42:05.42 ID:s6Tab8iq(12/13) AAS
>>413
つづき

研究成果 13：超対称ゲージ理論
2009年に立川裕二はL. F. Alday及びD. Gaiottoと共に、いわゆるAlday-Gaiotto-Tachikawa
予想を提起した。当初、この予想は理論物理学の言葉で表現されたが、すぐに数学的に正確な予
想に再定式化された。それ以来、その予想の大部分は厳密に証明された。当初は制限されたクラ
スの群に対して考察されたが、論文[21]は、一般的な場合について理解する方向に向けて大きく
前進する内容を含んでいる。
物理学と数学の相互作用のもう一つの例として、論文[22]において、立川はO. Aharony及び
N. Seibergと共に、一般的ゲージ理論で従来は無視されていた離散的パラメータを発見した。こ
れらの新しいパラメータを記述する最も良い方法は、代数的トポロジーで盛んに研究されてお
り、1980年代に多くの日本人数学者が貢献したテーマである分類空間のコホモロジーを用いるこ
とである。しかし、分類空間のコホモロジーはこれまで物理学ではほとんど使われていなかっ
た。従って立川がKavli IPMUの連携研究員であることから、直接数学者に質問することが可能で
あったことと共に、全数学分野を広く網羅するKavli IPMUの図書室で図書を参照することができ
たことが非常に役だった。
(引用終り)
以上

415(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/12/14(土) 22:33:36.89 ID:s6Tab8iq(13/13) AAS
下記で言えるのは
”世界にはSSのペーパーを読んで、
IUTの評価についてはSSに完全に同調している人がたくさんいる”
じゃないかな
なにせ、Peter Scholzeは、フィールズ賞受賞者だし

本当は、SSのペーパーとIUT論文（500ページ）と、この両方を完全に理解して、評価を下すべきなのだ

ところが、500ページの数学の専門論文を読むことがどれだけ難しいことか、ちょっと考えればすぐ分かること

さて、IUT論文（500ページ）をしっかり読んで理解した人が、世界に何人いるのかってこと
私見だが、IUT全部読んだのは、Ｇくん、Ivan Fesenko、星裕一郎、南出新、あと何人か若い研究者かな

でも、教授クラスになると、IUT論文（500ページ）なんて読む時間取れるのか？って疑問でしょ（＾＾
加藤文元先生は、焼き肉からのつき合いだから、読んでいるかな？

まあ、だから来年の
2020年度に開催予定の訪問滞在型研究「宇宙際タイヒミューラー理論の拡がり」でしっかり議論して
さらに、日本数学会全体としても、しっかりサポートしてほしいね

Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
800 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/12/14(土) 21:28:46.16 ID:ERIdEqm7
これだけは言える
世界にはSSのペーパーを完全に理解し、
IUTの評価についてはSSに完全に同調している人がたくさんいるということ。
勿論その中には日本人もいるだろう（そうであってほしい）

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