現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79

[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む79 (1002ﾚｽ)
上下前次1-新
抽出解除必死ﾁｪｯｶｰ(本家) (べ) 自ID ﾚｽ栞あぼーん

このｽﾚｯﾄﾞは過去ﾛｸﾞ倉庫に格納されています｡
次ｽﾚ検索歴削→次ｽﾚ栞削→次ｽﾚ過去ﾛｸﾞﾒﾆｭｰ

ﾘﾛｰﾄﾞ規制です｡10分ほどで解除するので､他のﾌﾞﾗｳｻﾞへ避難してください｡

19(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:31:43.10 ID:hz0vD8O+(1/13) AAS
メモ
”層は、関数の圏論化である”か
そうかｗ
そうだったんだ（＾＾；
https://abductionri.jimdo.com/%E7%A0%94%E7%A9%B6%E4%BC%9A%E5%90%88-1/
(抜粋)
第118回アブダクション研究会開催のご案内 18.02.17 福永　征夫
118th180217.pdf PDFファイル 3.1 MB ダウンロード
https://abductionri.jimdo.com/app/download/11180429091/118th180217.pdf?t=1571098599
（以下PDFのキャッシュから）
https://webcache.googleusercontent.com/search?q=cache:rsf6cigo_sQJ:https://abductionri.jimdo.com/app/download/11180429091/118th180217.pdf%3Ft%3D1535840720+&cd=2&hl=ja&ct=clnk&gl=jp
(抜粋)
（１）第１１７回アブダクション研究会のご報告をします。
■２０１７年１１月２６日（日）に開催しました第１１７回アブダクション研究会は、
『「数学の大統一に挑む」／エドワード・フレンケル著＝201５文藝春秋／を輪読研究して壮大な数学プロジェクトの意義を学ぶ』という重要なテーマで、
大河原敏男氏と世話人の福永征夫が解説発表を分担し合うとともに、
北村晃男氏の積極的な参画を得て、異なる数学の領域に架け橋をかける「ラングランズ・プログラム」の概要とその本質に関する基本的な理解につながる貴重な研鑽の機会を得ることができました。

「数学の大統一に挑む」の章立ては次の通りです。

第十四章「層」という考え方（PDFのP95）

数からベクトルへ
【163】層とは何かを説明するために、数について話をしよう

【169】集合から圏へのパラダイム・シフトは、現代数学の駆動力のひとつになっている。
その動きのことを「圏論化」と言う。
それはいわば、新しい世界を作ろうとしているようなものだ。
その世界においては、慣れ親しんだ概念が、より高いレベルのものに高められる。
例えば、数はベクトル空間に置き換えられる。
すると当然ながら、次なる疑問が浮かび上がる。
その新しい世界では、関数は何になるのだろうか？

つづく

20(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:02.52 ID:hz0vD8O+(2/13) AAS
>>19
つづき

【172】さて、多様体Sの各点に割り当てるものを、数からベクトル空間に変えてみよう。
そうすると、多様体S内の各点sに数を割り当てるルール（関数）の代わりに、ベクトル空間を割り当てるルールが必要になる。
そのような規則のことを、「層」と呼ぶ。層をFで表すと、点sに割り振られたベクトル空間は、F(s)となる。

【173】つまり、関数と層との違いは、多様体Sの各点に割り当てるものの違いなのだ。
関数の場合には、数を割り当てるのに対し、層の場合には、ベクトル空間を割り当てる。
与えられた層に対して、各点sごとに割り当てられるベクトル空間の次元は、それぞれ異なっていてもよい。
例えば、次の図（図14?１）では、ほとんどのベクトル空間は平面（二次元ベクトル空間）だが、
ひとつは直線（一次元ベクトル空間）になっている。
ベクトル空間が、数の圏論化であるように、層は、関数の圏論化である。

つづく

21(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:23.02 ID:hz0vD8O+(3/13) AAS
>>20
つづき

【175】当面われわれにとって重要なのは、関数と層の間に、深いアナロジーがあるということだ。
それを発見したのが、偉大なフランスの数学者アレクサンドル・グロタンディークである。
彼はほとんど単独で、現代の代数幾何学を作ったのみならず、数学に対するわれわれの考え方をすっかり変えてしまった。
ラングランズ・プログラムを幾何学的に再定式化するためにわれわれは、関数と層との間で言葉を翻訳するための辞書を利用したが、
その辞書こそは、グロタンディークの仕事を特徴づける深い洞察の見事な一例なのである。

【177】グロタンディークのアイディアに話を戻そう。
はじめに、ヴェイユのロゼッタストーンの真ん中のコラムに注目しよう。
そして有限体上の曲線と、より一般的な有限体上の多様体について調べる。
これらの多様体は、多項方程式の系によって定義される。
例えば、第９章で扱った、y^２＋y＝x^３?x^２もそのひとつである。
そのような多様体上に、ひとつの層があると仮定しよう。
層は多様体上の各点に、ベクトル空間を割り当てるルールだが、
実はさらに構造を持っている。
層の概念は、今考えている多様体が定義されている数の体系（この場合は有限体）の任意の対称変換から、
そのベクトル空間の対称変換が生じるように定義されているのである。
特に、有限体のガロア群の元であるフロベニウス写像からは、
このベクトル空間の対称変換（例えば回転や伸張など）が必然的に生じる。

【178】さて、ベクトル空間に何らかの対称変換があれば、そこからひとつの数を作り出すことができる。
そのための標準的なテクニックがある。
例えば、今考えているベクトル空間が直線なら、
フロベニウス写像から得られるこの空間の対称変換は伸張である
??つまり、各元zが、ある数Aにより、Ａzに変換される。この対称変換から作られる数は、Ａに他ならない。

つづく

22: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 08:32:42.59 ID:hz0vD8O+(4/13) AAS
>>21
つづき

【180】だが、関数から層へと戻る自然な方法はない。
それができるのは、ある種の関数だけであって、全ての関数でできるわけではないのだ。
しかし、もしもそれができれば、その層は、関数には持ち得ない付加的な情報をたくさん持っているだろう。
するとその情報を利用することにより、その関数の核心に迫ることができる。
注目すべき事実は、ラングランズ・プログラム（ヴェイユのロゼッタストーンの真ん中のコラムで）に現れる関数のほとんどは、
確かに層に由来するということだ。

【181】関数は数学全体を通じて重要な概念のひとつであり、数学者たちは何世紀も前から関数を研究してきた。
関数という概念は、温度や気圧を考えることで、直感的に捉えることができる。
しかし、グロタンディーク以前は誰ひとりとして気づかなかったことがある。
それは、有限体上の多様体（例えば有限体上の曲線など）という文脈に身をおくなら、
われわれは関数を超えて、層を相手にできるということだ。
あるいはこうも言えるかもしれない。
関数は古い数学の概念であり、層は現代数学の概念である、と。
グロタンディークは、色々な意味において、
層の方がより基本的だということを示した。
古き良き関数たちは、層の影に過ぎないのである。

【182】この発見が刺激となって、20世紀の後半に数学は大きく発展することになった。
なぜなら層は、関数よりもはるかに重要で、幅広い状況に適用できる数学的対象であり、ずっと多くの構造を持つからだ。
例えば、ひとつの層がいくつもの対称変換を持つこともある。
関数を層に格上げすれば、それらの対称変換を利用して、
関数を扱った場合よりも、はるかに多くの情報を得ることができるのだ。
(引用終り)
以上

23(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 10:43:19.25 ID:hz0vD8O+(5/13) AAS
” ポアンカレ”
「この生産力と不正確さがポアンカレの特徴である」か
そういう人もいるんだなｗ（＾＾；
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/
数学史シンポジウム報告集
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo14/
第14回数学史シンポジウム(2003.10.25?26)　　所報 25　2004
https://www2.tsuda.ac.jp/suukeiken/math/suugakushi/sympo14/14_4sekiguchi.pdf
クラインとポアンカレの往復書簡について保型関数論の源流関口次郎東京農工大学工学部2003
(抜粋)
2.2 クラインの「正20面体と5次方程式」

クラインが，正20面体，より正確には正20面体群というべきかもしれないが，
に関心をもったひとつの理由は2 正20面体群はアーベル群でないもっとも位数の小さい
有限単純群だからである.また，クラインはまだ確率されてからそれほどの時期のたって
いないリーマンの関数論とガロアの群論とを統合することを試みていたことも理由の一
つである.さらには， 5次代数方程式が代数的に解けないとはいってもそれではどういう
関数を使って解を記述できるか，という問題も当時はきわめて熱をおびていた話題だった
ことも理由にあげていいのかもしれない.

クラインは1874年頃にその頃まだ一般的でなかったリーマン流の関数論と難解だった
ガロアの群論とを結びつけることを自的として研究を開始した。

2次元球面S^2を複素射影直線P1(C)と同一視する.これはリーマンの考え方である。
P1(C)の1次分数変換から生成される有限群を考える.これはガロアのアイデアである。
このような有限群は巡回群，正2面体群，あるいは正多面体群のいずれかになる。
このようにして自然に正多面体が登場する。

つづく

24: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 10:45:20.74 ID:hz0vD8O+(6/13) AAS
>>23 つづき

クラインはまずS0(3)がS^2に回転群として作用しているが、その有限部分群を調べて正多面体の合同群である正多面体群の研究へと議論を進めていく.正確には，SL(2，C )
の有限部分群はn次巡回群，正2面体群および正4面体群，正8面体群，正20面体群のいずれかに群同型になることを示している. (立方体の合同群は正8面体群に同型，正12
面体の合同群は正20面体群に同型である. )次にクラインは2次元球面S^2と複素射影直線P1(C)を同一視させる。正多面体Mのすべての頂点mがS^2にあるようにする.

そして，M の面の中心と稜の中点をS^2に中心から投影する，するとS^2とP1(C)の同一視によって， P1(C)上にM の面の中心に対応する点α1，α2，・・・，αp、稜の中点に対応する点b1,b2,・・・,bq，頂点に対応する点c1,c2,・・・,crを得る。P1(C)の斉次座標をZ1：Z2とすれば，
略

4 ポアンカレ
ポアンカレは1854年4月29日にナンシーに生まれた.彼の父はナンシー大学医学部教授だった.高校の終了時には彼の天才は明らかになって，彼がエコール・ポリテクニックに入学したときはクラスのトップであった.
彼は製図ができないことが理由で，次席でエコール・ポリテクニックを卒業した.そして1875年に鉱山学校に進学した.
1878年に彼は偏微分方程式を主題にした学位論文をパリ大学に提出した.その学位論文
は多くのいい論題について十分なアイデアを含んでいるが，いくつかの点で訂正したり
より厳密にする必要があるとダルブー(J.G. Darboux，1842-1917)は述べているそうである.
この生産力と不正確さがポアンカレの特徴である.すなわち，アイデアはまさしく
ガウスのように素早くほとばしるが，自らの発見を見直して洗練させて仕上げるために
時間を費やすことはしなかったようである. 1879年12月1日にカーンの鉱山学校に就職し，
理学部の解析教程の講義を担当した.
いかなる理由でポアンカレは鉱山学校に進学したのだろうか.また，カーンというのは
フランスのどこに位置するかは、地図を見ればわかることだが，カーンの鉱山学校とは偉大
な数学者ポアンカレにふさわしい職場だったのかどうか.こういうことについてはすでに
定説があると思われるので深入りしない.
1881年の時点で27歳である。まだ新進気鋭の数学者という段階だった。
(引用終り)
以上

25(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 10:48:00.61 ID:hz0vD8O+(7/13) AAS
>>23 関連

https://www.maruzen-publishing.co.jp/item/?book_no=294335
丸善
正20面体と5次方程式改訂新版
数学クラシックス 5
正20面体と5次方程式改訂新版
原書名 Vorlesungen uber das Ikosaeder und die Auflosung der Gleichungen vom funften Grade
著者名関口　次郎訳
前田　博信訳
発行元丸善出版
発行年月日 2005年01月

内容紹介
19世紀を代表する数学者の一人クラインが、正20面体に内在する数学的構造を体系的に解説する名著。この改訂版では、これまで英訳も存在せずドイツ語でしか読めなかった数学者スロードウィー（1948〜2002）による解説・注釈も収録。

目次
第?部　正20面体の理論
　第１章　正多面体と群論
　第２章　( x + iy ) の導入
　第３章　基本問題の定式化と関数論的考察
　第４章　基本課題の代数的性質について
　第５章　一般的な定理と観点
第?部　５次方程式の理論
　第１章　５次方程式の理論の史的展開
　第２章　幾何学的手段の導入
　第３章　５次主方程式
　第４章　Ａの問題と６次ヤコビ方程式
　第５章　一般５次方程式
付録Ａ　本文への注釈

26: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 20:52:11.95 ID:hz0vD8O+(8/13) AAS
転載

スレ78 2chｽﾚ:math
914 自分：現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 投稿日：2019/11/12(火) 07:19:21.12 ID:bgnQJNQo [2/4]
(抜粋)
>>847
>時枝不成立を名言した大学教員
>　該当者無し

まず添削
名言
↓
明言
な（＾＾

で、数学では、査読のある専門誌に載った定理のみが、成立するとして信頼して良いってこと
査読雑誌に載らないのはだめだよ
（あと、古典で標準教科書に載る定理も可だ）

例えば、IUTはいまだ査読のある専門誌に掲載されない
ペレルマンの三次元ポアンカレ予想解決は、arXivに投稿された（後述）
これを、皆で勝手査読して正しいとして、フィールズ賞を出した。受取らなかったが

時枝問題は、皆無
お遊びホームページと査読のない数学セミナー誌のみ

時枝は、数学セミナーの記事後半で、前段を否定している
１）計量ができないのに、99/100を導きました
２）確率変数の独立と、99/100とは矛盾しています
という

おサルは、前段のみを採用し、
後段は時枝の間違いか無関係とのたまう

（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B0%E3%83%AA%E3%82%B4%E3%83%AA%E3%83%BC%E3%83%BB%E3%83%9A%E3%83%AC%E3%83%AB%E3%83%9E%E3%83%B3
グリゴリー・ペレルマン
(抜粋)
ペレルマンとポアンカレ予想
arXiv で以下の3つのプレプリント (Preprint) を発表し、ポアンカレ予想を解決したと宣言した。
The entropy formula for the Ricci flow and its geometric applications, 2002年11月11日
Ricci flow with surgery on three-manifolds, 2003年3月10日
Finite extinction time for the solutions to the Ricci flow on certain three-manifolds, 2003年7月17日

27: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 20:54:17.83 ID:hz0vD8O+(9/13) AAS
下記は、次のスレでは、テンプレに入れる（＾＾

現代数学の系譜　カントル　超限集合論
2chｽﾚ:math

29(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 22:06:42.60 ID:hz0vD8O+(10/13) AAS
メモ
Inter-universal geometry と ABC予想 42
2chｽﾚ:math
197 名前：１３２人目の素数さん[sage] 投稿日：2019/11/16(土) 05:31:51.44 ID:xkrFqYQ6
星の入門論文、初版より大幅アップデートされてるな！
(引用終り)

これか
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/papers.html
星裕一の論文
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory.pdf
宇宙際 Teichmuller 理論入門 (PDF)
RIMS Kokyuroku Bessatsu B76 (2019), 79-183.

（関連）
http://www.kurims.kyoto-u.ac.jp/~yuichiro/introduction_to_inter-universal_teichmuller_theory_continued.pdf
続 ? 宇宙際 Teichmuller 理論入門 (PDF)
RIMS Kokyuroku Bessatsu B72 (2018), 209-307.

30: 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 22:07:32.64 ID:hz0vD8O+(11/13) AAS
>>28
べつに
静かでいいわ
おサルはいらんぜｗ（＾＾；

31(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 22:12:46.26 ID:hz0vD8O+(12/13) AAS
>>29

IUT ：”2012年8月に以下の4つの論文がプリプリントとして、望月氏のホームページで公開された”
当時、３年くらいで決着（正しいと認められる）と思ったけど
7年経っても決着まだとは
数学でこんなことがあるんだねｗ（＾＾；

https://ja.yourpedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
宇宙際タイヒミュラー理論
宇宙際タイヒミュラー理論は2012年に望月新一による Inter-universal Teichmuller Theory と題された一連の論文の中で展開された理論である。ABC予想やVojta予想などの未解決問題を解決したとされるが、2014年の段階では検証は終わっていない。

目次
1 論文について
2 宇宙際について
3 楕円曲線と高さの理論
4 ディオファントス幾何
5 ホッジ＝アラケロフ幾何
6 フロベニオイド
7 遠アーベル幾何
8 ホッジ舞台
9 対数殻
10 核性
11 多輻的復元アルゴリズム
12 テート＝セミツイスト
13 数学基礎論による厳密な定式化
14 関連
15 参考文献
16 外部リンク

論文について
2012年8月に以下の4つの論文がプリプリントとして、望月氏のホームページで公開された。公開目的は専門家による学問的検証であり、一般社会へ向けたものではないとしている。

Inter-universal Teichmuller Theory I: Construction of Hodge Theaters.
Inter-universal Teichmuller Theory II: Hodge-Arakelov-theoretic Evaluation.
Inter-universal Teichmuller Theory III: Canonical Splittings of the Log-theta-lattice.
Inter-universal Teichmuller Theory IV: Log-volume Computations and Set-theoretic Foundations.

32(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/11/16(土) 23:13:47.01 ID:hz0vD8O+(13/13) AAS
>>31
>https://ja.yourpedia.org/wiki/%E5%AE%87%E5%AE%99%E9%9A%9B%E3%82%BF%E3%82%A4%E3%83%92%E3%83%9F%E3%83%A5%E3%83%A9%E3%83%BC%E7%90%86%E8%AB%96
>宇宙際タイヒミュラー理論
>ウィキペディアにも「宇宙際タイヒミュラー理論」の項目が執筆されていましたが、削除されてしまいました。

あれ？
英語ウィキペディアは健在ですね（＾＾；
https://en.wikipedia.org/wiki/Inter-universal_Teichm%C3%BCller_theory
Inter-universal Teichmuller theory
(抜粋)
History
In March 2018, Peter Scholze and Jakob Stix visited Kyoto University for five days of discussions with Mochizuki and Yuichiro Hoshi; while this did not resolve the differences, it brought into focus where the difficulties lay.[8][10]
It also resulted in the publication of reports of the discussion by both sides:

上下前次1-新書関写板覧索設栞歴

ｽﾚ情報赤ﾚｽ抽出画像ﾚｽ抽出歴の未読ｽﾚ AAｻﾑﾈｲﾙ

ぬこの手ぬこTOP 0.034s