[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む79 (1002ﾚｽ)
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475(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:42:23.97 ID:bREJGpzC(1/9) AAS
偏微分方程式の一意的な解を構成する方法を予想した
476(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:43:16.19 ID:bREJGpzC(2/9) AAS
>>475
全てのヒルベルト空間Hの双対空間H*はリースの表現定理によりHと線型同型かつ距離同型ゆえにH*＝Hと見なしている上に, Hとしてソボレフ空間を選べばH*は超関数の空間である(後述)から,
477(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:44:02.12 ID:bREJGpzC(3/9) AAS
>>476
与えられた偏微分方程式(P)に対して適当な可積分性や
可微分性を定めたヒルベルト空間Ｈで(P)の解u∈Ｈが存
在しそうなものを用意して, 適当な超関数としての連続
線型汎関数d∈Ｈ*を定義しておいて, リースの表現定理
により∃!v∈Ｈ, ∀φ:test function,〈d, φ〉＝(v|φ) と表現
するときに,
478(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:44:35.32 ID:bREJGpzC(4/9) AAS
>>477
vが(P)の解 u＝v であることを言えたら, ∃!u∈Ｈ, (P)の解を構成できたことになる. Ｈ*＝Ｈだからuをdと同一視できるのでuは超関数の意味での解でもある.
479(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:45:09.10 ID:bREJGpzC(5/9) AAS
>>478
または, 共役指数 1＜p＜∞, q, 1/p＋1/q＝1 に対してL^p空間の連続線型汎関数の表現定理を用いて, 開集合Ω上の超関数∂∈Ｄ*(Ω)⊃(L^p)*(Ω)としての連続線型汎関数∂∈(L^p)*(Ω)を定義しておく.
480(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:46:01.78 ID:bREJGpzC(6/9) AAS
>>479
L^q(Ω)＝(L^p)*(Ω)は, ヒルベルト空間Ｈと整合性を保たせたいなら, Ｈは適当な実数sによる可微分性を課してp
＝2としたソボレフ空間Ｈ＝W^(s, 2)(Ω)⊆L^2(Ω)＝(L^2)
*(Ω)⊂Ｄ*(Ω)となるから, より広い関数空間L^q(Ω)＝(L^
p)*(Ω)⊂Ｄ*(Ω)の中で(P)の解∂∈L^q(Ω)を構成できるか
もしれない. (ただし, 計量による性質：空間の直交分解
可能性, 実数値の内積で任意の２つの元の成す角を定義
できること, 正規直交基底の存在, などは失われる. )
481(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:46:43.20 ID:bREJGpzC(7/9) AAS
>>480
以上の全ての関数空間Xに対して, Ｄ(Ω)がXで稠密であ
り, 関数列{φ_n}⊂Ｄ(Ω)のＤ(Ω)に入っている位相による
収束を仮定すると{φ_n}がXに入っている位相により収
束するので, ∀f∈X*⊂Ｄ*(Ω), fの連続性をＤ*(Ω)の位相に
より定めれば, X*は超関数の空間になる. (P)の解u∈X*
を構成できて, 例えばX*＝Xだとかuが或る程度滑らか
なら, u∈Xにもなりうる
482(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:47:16.72 ID:bREJGpzC(8/9) AAS
>>481
現実にはuに数理科学や幾何学などから要請される, 例えば, 有界性u∈L^∞(Ω)や可積分性と可微分性u∈W^(s, p)(Ω)およびΩの境界の形状によるuの性質そして非斉次性などがXに反映され, (P)の解u∈X*(≠X)の構成は殆んど多くが困難なのだろう.
483(1): １３２人目の素数さん [] 2019/12/18(水) 20:51:13.14 ID:bREJGpzC(9/9) AAS
>>482
通常はこの偏微分作用素に楕円性などの仮定を置くのですが超関数の概念を使えばその仮定が外せるのではないかと考えている．
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