[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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973(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 11:21:11.57 ID:HOFZxgY0(1) AAS
>>969
定かではありませんが、
5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大
みたいな事書いてました。
でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合でしょと突っ込み入れてました。
実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。
まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。
この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。
最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。
Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。
ここで後者とするとGが元々位数15の正規部分群を持ちますが、それはC3×C5しかあり得ず、そのシロー3群は特性部分群なので、Gが位数3の正規部分群を持つことになり、Lの最小性に反します。
以上によりG=N⋊Q、#Q=1,2,4,8まで来ます。
ここでQのNへの自然な作用が自明な元全体をKとすると#Kは4以下でKが非自明なら非自明なセンターを持ち、それはGのセンターになってしまうのでGの最小性に反します。
よってQはe,c2,c4,c2×c2です。
以上の議論を踏まえてQ上のある５次規約多項式がK上でも規約の場合、その最小分解体のガロア群は位数が80の約数で位数5の巡回群を唯一の正規部分群として持つ事が言えます。
さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
aはKの整数としてよく、それが整数環の非可逆元ならやはり容易です。
そうでない場合が残りケース。
実例を調べてみるとこの場合は必ずアーベル拡大になってしまいQ=eになるようです。
もっか調べ中。
誰かが本にそれっぽい事書いてたと言ってたので正しいのは正しいのでしょう。
989(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 17:49:53.12 ID:mJ2TyGNr(3/8) AAS
>>973
わたしが理解している話の流れ
位数20の可解群をガロア群として持つ5次方程式の例として
Mara Papiyas氏がx^5-a=0を出した。
しかしスレ主は前々から「基礎体には1のべき根はすべて含まれている」という条件に拘っていて、ガロア群はC_5だろうとこの例を認めなかった。
わたしは、x^3-2=0というQ上S_3をガロア群として持つ有名な例と比較して、氏の例は立派な例になっていることを説明した。
そんな感じですかね。
貴方は途中からよく分からない理由で参入してきた、何をしようとしているのかも不明という印象です。失礼ながら。
990: １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 18:09:03.59 ID:mJ2TyGNr(4/8) AAS
>>973
まず文章が非常に読みにくいです。
反礼→反例、規約→既約 などの誤字が目立ちます。
既約というのは、ご存じでしょうが、これ以上約すことができないという意味だから、既約なんですよ。
規約だと違和感を感じませんか？
Qを有理数体の意味に使ったり、Quotientなる群？の意味に使ったりまぎらわしいです。それはまだしも。
前半の可解な既約5次方程式のガロア群になりうる群位数が制限されるというのは一般的な話ですね。ですが
>さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
スレに出ていた話では5,10,20のケースがあるそうです。
>20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
これが何を言ってるのか分からないです。
>この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
これも意味不明。N[L/K]とはノルム写像ですか？ でも、a∈Kであればノルムを取る意味ありますか？
わたしの理解するところ。位数20の話としましょう。
仮にこのガロア群を持つ方程式がx^5-a=0 の形だとすると、1の原始5乗根ζを添加した後に5次クンマー拡大で分解体に到達することになります。
つまり「位数20のガロア群を持つQ上の5次方程式を解くとき最初の4次拡大は必ずQ(ζ)/Qと一致する」
ことになります。
それはおかしいと思う（ただし直感で詳しく検討してはいないが）、最初からそんな問題意識は持たないです。
そもそも3次の場合は2項方程式に帰着しませんが、それと可解5次の場合の違いが説明できますか？
993: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [sage] 2019/10/18(金) 19:27:51.68 ID:yJv1enDY(16/17) AAS
>>992
＞もともとクソみたいなスレなので
そもそも、ここってクソな1を凹るスレだろ？ｗ
＞仮に間違っていたとしてもスレでは日常茶飯事
1は口を開けば間違いしか言わんからな
それにしても>>973の書き込みはヤバい感じがプンプンしてましたな
5chってそういう人が多いからね 病気なら仕方ないけど
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