[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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969(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 08:09:02.31 ID:mJ2TyGNr(1/8) AAS
>>944
>誰かが書いてた
具体的にはどのレスですか？
>Q上の任意の５次拡大においてKそのガロア閉包のガロア群が可解である時、x∈Kをうまく取ればその最小多項式が２項からなるものから取れる
最小多項式が2項とのことですが、その次数は5ですか？それとも一般のn次ですか？
いずれにしても1のn乗根を添加するとその上のn次クンマー拡大で分解するってことですね。
そんなことは一般には成立しないと思います。
973(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/18(金) 11:21:11.57 ID:HOFZxgY0(1) AAS
>>969
定かではありませんが、
5 次拡大がガロア群が可解なら二項拡大
みたいな事書いてました。
でそれは少なくとも下の体がQ(exp(2πi/5))を含む場合でしょと突っ込み入れてました。
実際反礼があるのかと考えてみると中々ないのがわかります。
まずζ=exp(2πi/5), K=Q(ζ), f(x)をQ上の規約多項式で今はこれがK上でも規約まで仮定しておきます。
この上でLをK上の最小分解体, G=Gal(L/K)とし、これが可解とします。
最小性の仮定からGは唯一の極小正規部分群Nを持ち、それが５次巡回群までは自明なのでG/N=Qとおきます。
Qの位数は24の約数で可解なので、少し議論すると2群かまたは位数３の正規部分群を持ちます。
ここで後者とするとGが元々位数15の正規部分群を持ちますが、それはC3×C5しかあり得ず、そのシロー3群は特性部分群なので、Gが位数3の正規部分群を持つことになり、Lの最小性に反します。
以上によりG=N⋊Q、#Q=1,2,4,8まで来ます。
ここでQのNへの自然な作用が自明な元全体をKとすると#Kは4以下でKが非自明なら非自明なセンターを持ち、それはGのセンターになってしまうのでGの最小性に反します。
よってQはe,c2,c4,c2×c2です。
以上の議論を踏まえてQ上のある５次規約多項式がK上でも規約の場合、その最小分解体のガロア群は位数が80の約数で位数5の巡回群を唯一の正規部分群として持つ事が言えます。
さらに絞っていくと位数は5か20しかない事も言えます。
20の場合というのはあるa∈KでLがその最小分解体となるケースです。
この時x^5-N[L/K](a)はLで分解するのでこれがQで規約なら主張は成立です。
aはKの整数としてよく、それが整数環の非可逆元ならやはり容易です。
そうでない場合が残りケース。
実例を調べてみるとこの場合は必ずアーベル拡大になってしまいQ=eになるようです。
もっか調べ中。
誰かが本にそれっぽい事書いてたと言ってたので正しいのは正しいのでしょう。
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