[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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909(2): Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/17(木) 06:14:32.44 ID:448PbhX4(4/12) AAS
円分拡大の自己同型
原始５乗根をζで表す
同型写像として^2をとる
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^2
ζ^2、ζ^4、ζ^6=ζ、ζ^8=ζ^3
↓^2
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^2
ζ^3、ζ、ζ^4、ζ^2
↓^2
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
逆写像は^3
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^3
ζ^3、ζ^6=ζ、ζ^9=ζ^4、ζ^12=ζ^2
↓^3
ζ^4、ζ^3、ζ^2、ζ
↓^3
ζ^2、ζ^4、ζ、ζ^3
↓^3
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
ちなみに^4は、自身が逆写像でもある
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
↓^4
ζ^4、ζ^8=ζ^3、ζ^12=ζ^2、ζ^16=ζ
↓^4
ζ、ζ^2、ζ^3、ζ^4
もちろん^1(恒等写像)は単位元
912(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/17(木) 07:37:43.55 ID:khSgay+Z(4/9) AAS
>>909
ぱち ぱち ぱち、拍手！
ご苦労さんｗ（＾＾；
さて、じゃおれも
(>>858より 下記”１のｎ乗根 （Joh著）”から）
「Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．」
の話において
「1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．」
は、ベクトル空間の基底で”1は不要”の話は、”1”みならず、任意のζ^m (1<=m<=n-1)の1つを基底から外すことが可能
（∵ 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0で、一次従属なので、どれでも1つを外すことが可能）
よって、群を考えるときは、単位元が欲しいので、
最上位のζ ^n-1を外して
”1 , ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-2 とn-1個 が基底を張る”とすれば、
クンマー拡大の巡回拡大（>>911）と同じ議論に乗ります （＾＾
（参考）
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
拡大体の基底に関する注意
拡大体の次数について注意です． x^n-1 の解 ζ を使い，拡大体 Q(ζ) を考えます． Q(ζ) の元は，一般に a1ζ + a2ζ^2 +...+an-1ζ^n-1 と表わされ， Q 上のベクトル空間と見た場合には ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 が基底を張ることになります．
あれ， 1 は基底に無いのでしょうか？要りません．
ベクトルの足し算だと思って図形的に考えればすぐに分かりますが， 1+ζ + ...+ζ ^n-1=0 がなりたつため， ζ , ζ^2 ,..., ζ^n-1 と 1 は独立ではないのです．
1 の n 乗根を添加するとき，拡大次数を間違わないように注意して下さい．
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/Joh-SolvExample1.gif
例えば 1 の五乗根． 1+ζ + ζ^2 +ζ^3 + ζ^4=0 となる．
(引用終り)
931: Mara Papiyas ◆y7fKJ8VsjM [] 2019/10/17(木) 18:58:50.90 ID:448PbhX4(6/12) AAS
>>914
いちいちごもっとも
>>909みたいにアケスケに書けば
1→ζ→ζ^2→…→ζ^(n-1)→ζ^n=1
みたいなナイーブな認識が
円分体のガロア群に関しては
全然見当違いだと分かる
（クンマー拡大とは違うのだよｗ）
例えばφ12は4次式で
ζ=exp(2πi/12)cos(2π/12)+i*sin(2π/12)
とすれば
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
のみが解
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
↓^5
ζ^5,ζ^25=ζ,ζ^35=ζ^11,ζ^55=ζ^7
↓^5
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
↓^7
ζ^7,ζ^35=ζ^11,ζ^49=ζ,ζ^77=ζ^5
↓^7
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
↓^11
ζ^11,ζ^55=ζ^7,ζ^77=ζ^5,ζ^121=ζ
↓^5
ζ,ζ^5,ζ^7,ζ^11
これはクライン群で、巡回群ではないね
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