[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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758(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/09(水) 11:17:21.83 ID:nHmzRvjt(4/8) AAS
>>757
つづき
応用例
非自明な有限 p-群 P（つまり位数 pn の群、ただし p は素数で n > 0）を考えよう。類等式を使うと
「すべての非自明な有限 p-群は非自明な中心をもつ」
ことが証明できる[9]。
証明：P の任意の共役類の元の数は P の位数を割らなければならない。よって中心に含まれていない各共役類 Ci の元の数もまたあるベキ pki（ただし 0 < ki < n）であることが従う。すると類等式から pn = |P| = |Z(P)| + ?i pki となる。ゆえに p は |Z(P)| も割らなければならず、したがって |Z(P)| > 1 であることがわかる。
共役集合と共役部分群
群 G の部分集合 S （S は部分群である必要はない）と g ∈ G に対して
Sg = g^-1Sg = { g^-1sg | s ∈ S }
を S の g による共役集合という[10]。SG を部分集合 S の群 G における共役集合からなる集合とする。 次の定理はよく使われる。 G の部分集合 S が与えられたとき、SG の元の数は G における S の正規化群 NG(S) の指数に等しい[4]：
|SG| = [G : NG(S)].
これは G の元 g と h に対して Sg = Sh であることと gh^-1 が NG(S) の元であること??つまり g と h が NG(S) を法として等しいこと??の同値性から従う。
この公式は共役類の元の数に対する前に与えられたものを一般化することに注意しよう（S = {a} とせよ）。
上記は G の部分群について話すときに特に有用である。部分群のなす集合は共役部分群へ分割できる。共役部分群は同型であるが、同型な部分群が共役であるとは限らない。たとえば、アーベル群は同型な 2 つの異なる部分群をもつかもしれないが、それらは決して共役でない。
一方でシロー部分群は互いに共役である（シローの定理）。また、部分群 H がそのすべての共役部分群と一致することは部分群は正規部分群であることに他ならない。
つづく
759(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/09(水) 11:17:44.41 ID:nHmzRvjt(5/8) AAS
>>758
つづき
共役作用
任意の 2 元 g, x ∈ G に対して
g.x = gxg^-1
と定義すれば、G の G 上の群作用になる。この作用の軌道は共役類であり、与えられた元の固定部分群はその元の中心化群である[4]。
同様に、G のすべての部分集合からなる集合への、あるいは G のすべての部分群からなる集合への、G の群作用を
g.S = gSg^-1
と書くことで定義できる。
幾何学的解釈
弧状連結位相空間の基本群における共役類は自由ホモトピーのもとでの自由ループ（英語版）の同値類と考えることができる。
注釈
2.^これが意味するのは群の各元はちょうど1つの共役類に属し、類 aG と bG が等しいことと a と b が共役であることは同値であり、そうでなければ互いに素である。
3.^ 証明：a = g^-1bg であれば、ak = (g^-1bg)(g^-1bg)...(g^-1bg) = g^-1bkg。
(引用終り)
以上
765(1): １３２人目の素数さん [] 2019/10/09(水) 19:18:45.73 ID:gm3ls/Yz(6/7) AAS
>>755-759
理解を試すために質問するね
ガロア理論で「群の正規列」（正規部分群の列）って出てくるね
これ、なんで部分群の列じゃダメなの？
分かってる人は簡単にこたえられる質問だね
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