[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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68(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:17:27.61 ID:cMDg8k3q(4/6) AAS
>>64
>一般の集合 ⊃ 推移的集合 ⊃ 順序数
（>>66より）
「正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。」
（フォン・ノイマン宇宙 ja.wikipediaより）
なので、普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな（＾＾
(引用終り)
ってことね
おサルはえらいね
三歳児なのに
非整礎集合の集合論を考えていたのか
ＺＦＣの外ね
おサルはえらいね〜ｗ（＾＾；
73(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/12(木) 11:19:23.22 ID:2dM7jvB/(4/7) AAS
>>68 追加
http://kururu.hatenabloｇ.com/entry/20060608/1149748301
kururu_goedel’s diary 2006-06-08
正則性公理
(抜粋)
haskellもプログラミングにおける型理論もわかりませんが、正則性公理が型に通じているというのは多分鋭い考察です。ゲーデルがLの構成について講義したときに、まず最初にRから始めるバージョンをやったらしいです。そうすると、ラッセルの型理論に近い形で広がっていきます。
事実、ゲーデルはLの構成をラッセルの理論の拡張だと思っていたようです。これは、このあたりの歴史の本を見ると出ています(=ソース探すの面倒だから各自でお願い)。
もっとも、ZFCの発想自体がラッセルの型理論とは全く相容れないような気もするんですが。ま、ともかく。
むしろ言及したいのは「この公理ってないほうが」の部分でありまして。正則性公理がある意味adhocな公理であることは間違いないです。そして、そのことを攻撃するのは論理的には全く正しいし、ない方が楽しいかもねと言われればおき得ることの範囲が広がるんだから確かにそうかもしれないとしか言いようがありません。
ですが、正則性公理が現代集合論ではとても強力に使われていることだけは主張しておいたほうが良いかと思います。
正則性公理を仮定しない場合には、rankを持たない集合が出てきてしまいます。つまり、rankを用いて超限帰納法を適用することによって全ての集合について何かを証明することができなくなってしまいます。ってことは、例えば強制法とか超べきなんかですら既にいろいろ面倒ですね。
また、集合論ではよくV(集合全体のクラス)に似た構造を持った集合をとってくるのですが、これも正則性公理を使ってやる場合が多いです。例えば、Vκ(rankがκより小さい集合全体の集合)とかをとります。
そして、そのサイズの小さい初等部分モデルをとるのが定石です。このテクニックはおそらく現代集合論で最も重要なものであって、それ抜きでは集合論の議論は全く違ったものになっているでしょう。これに似た話を正則性公理抜きでやる方法が今のところ私には思いつきません。
ってわけで、私は正則性公理があって欲しいなと。もちろん、正則性公理のあるZFC上でエミュレーションしてやるって手はあるかと思うんですが、それはid:nucさんの意図には反しているのではないかと想像します。
77(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/12(木) 19:30:21.01 ID:0bjYSisu(5/6) AAS
>>66
>普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな
これはヒドイｗ
>>68
>非整礎集合の集合論を考えていたのか
これもヒドイｗ
{{{}}}(順序数どころか推移的集合でもない)
のどこが非整礎集合かよｗｗｗｗｗｗｗ
「整礎集合」＝「推移的集合」 と思ってる時点でアホ
定義の日本語の文章も読めないらしい
「集合 x が整礎的集合 (well-founded set) であることは、
∈ が x の推移閉包上で整礎関係となること」
「ｘ上で」ではなく「ｘの推移閉包上で」に注意
{{{}}}の推移閉包は{{},{{}}}
要するに一般のｘ上で∈ は推移的でないから
ｘを含む最小の推移的集合（これが推移閉包）
を考える必要がある
そもそもベン図で描けるかどうかと
∈が推移的かどうかは全然無関係
ベン図は要素（対象）と集合（性質）を明確に分けてしまう点で、
集合論を扱うツールとしては限定的な役割しかない
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