[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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67(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:13:20.22 ID:cMDg8k3q(3/6) AAS
>>66
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。
空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。
K が到達不能基数ならば、VKはZFCのモデルである。そして、VK+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。
各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。
正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。
関連項目
宇宙 (数学)
構成可能集合
グロタンディーク宇宙
到達不能基数
(引用終り)
以上
81(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 23:53:28.50 ID:cMDg8k3q(6/6) AAS
>>77-78
言い訳必死だな、サルはｗ（＾＾
・∈−順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
これで、帰納法及び超限帰納法が可能になるんだ
・フォン・ノイマン宇宙（>>67）も、重要キーワードでしょ？
「V=WF ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す」
そして、フォン・ノイマン宇宙で、学部数学なら展開できる
フォン・ノイマン宇宙では、∈−順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
・推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
・これで（フォン・ノイマン宇宙で）、ベン図に反例はない
・大体、数学者って人種は「おまいら高校の極限はゴマカシなんだ」みたいなのスキでね（＾＾
だから、もしベン図がゴマカシ（不正確と言ってもいい）だったら、きっとそういう人が出てくるはず
「y∈zとしても、ｙの元で、zに含まれない元が存在するんだ。だから、ベン図に反例がある（あるいは描けない）」みたいなことをいう人がね
でも、そんな人はおらんでしょｗ（＾＾
・おっと、そもそもあなたは、公理的集合論では、集合の元もまた一つの集合ってこと、公理的集合論ではおサルやイヌの集合は登場しないのだよ。素朴集合論の思考のクセが抜けてないみたいだねｗｗ（＾＾
138(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 11:28:48.65 ID:QdZ5TU5n(7/19) AAS
>>137
つづき
以下、余談だがご参考まで（＾＾；
(>>67)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
定義
この累積的階層は順序数のクラスによって添え字付けられた集合Vαの集まりであり、特に、Vαは階数α未満の集合全てによる集合である。ゆえに各順序数 α に対して集合Vαが超限帰納法によって以下のように定義できる:
・V0は空集合, {}とする。
・各順序数 βに対して、Vβ+1はVβの冪集合とする。
・各極限順序数 λに対して、Vλは、次の和集合とする
この定義で重要なのは、ZFCのある式φ(α,x)で "集合xはVαに属する" ことを定義できることである。
クラスVは全てのV-階層の和、すなわち:
略
と定義される。
同じ定義だが、各αの階層を
略
と定義できる、ここで P(X)はXの冪集合のことである。
集合Sの階数はS ⊆ Vαとなる最小のαとも言える。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。
κ が到達不能基数ならば、VκはZFCのモデルである。そして、Vκ+1はモース-ケリー集合論のモデルである。
V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。
正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。
つづく
155(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/14(土) 16:22:56.72 ID:VYIPOabR(16/30) AAS
>>154
ニワトリ 破滅への道 ?
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
５． ニワトリ、完全に集合＝順序数、と誤解するトンデモぶりｗ >>81
>>・∈−順序は、公理的集合論ＺＦＣの目玉の重要キーワードでしょ？
>> これで、帰納法及び超限帰納法が可能になるんだ
>>・フォン・ノイマン宇宙（>>67）も、重要キーワードでしょ？
>> フォン・ノイマン宇宙では、∈−順序が成り立ち、∈が推移律を保つ
>>・推移律：x∈y∈z で、ここでｘはｙの任意の元として、
>> ｘに対し∀x∈zが成立→即y⊂z成立 かつ x⊂z成立
６． トンデモ発言をいちいち否定される >>84
＞フォン・ノイマン宇宙自体は推移的であっても
＞フォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なわけではない
＞もしフォン・ノイマン宇宙の全ての集合が推移的なら
＞フォン・ノイマン宇宙は順序数の全体ということになるが
＞そんな馬鹿なことはもちろんないｗ
＞例えば{{{}}}は明らかに集合であることが証明できるが
＞これは推移的ではないｗ
＞{}∈{{}} {{}}∈{{{}}} しかし ¬({}∈{{{}}})
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