[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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55(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/11(水) 21:00:56.13 ID:IlUCyPH9(9/9) AAS
（>>30-31）
> ５）∈−順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
> だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
∈−順序は、推移的なので、
u ∈ x ∈ ｙ なら
三重丸を描けば良い
一番内側がｕ、中間がｘ、一番外がｙ
それをベン図で解釈すれば、
u ⊂ x ⊂ ｙ
それで、ｘの元である集合ｕにおいて、
その元が１点集合たち u1,u2,・・・,un ∈ｕだったとすれば
一番内側の丸のｕの中に、u1,u2,・・・,un達を描く。それは１点で表現しても良い（＾＾
ベン図の包含関係から
u1,u2,・・・,un ∈ｘであり
u1,u2,・・・,un ∈ｙである
これ即ち、∈−順序の推移性そのものでしょ（＾＾；
おサル、しっかり踊れよ ｂｙ サル回しのスレ主より ｗ（＾＾；
61: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/12(木) 06:33:38.46 ID:0bjYSisu(1/6) AAS
>>55
> (∈−順序は推移的なので）”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
そりゃx,yが順序数なら、成り立つよ
しかし一般の集合は順序数じゃないだろｗ
順序数でない集合なんて
有限集合でもいくらでも作れる
たとえば{{{}}}とか
考えろよ ニワトリｗ
62: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/12(木) 06:40:23.25 ID:0bjYSisu(2/6) AAS
>>55
＞一番内側がｕ、中間がｘ、一番外がｙ
＞それをベン図で解釈すれば、
＞u ⊂ x ⊂ ｙ
だろ？ベン図で描けるのはあくまで
u ⊂ x ⊂ ｙ
であって
u ∈ x ∈ ｙ
じゃないだろ？
＞ベン図の包含関係から
＞u1,u2,・・・,un ∈ｘであり
＞u1,u2,・・・,un ∈ｙである
＞これ即ち、∈−順序の推移性そのものでしょ
いやｗ
u1,u2,・・・,unを点として
（あくまで点であって「1点の集合」ではないことに注意！）
ｘ、ｙをベン図の○で書かれた場合
ｘ⊂ｙ
だというだけで、ｘは点じゃないから
ｘ∈ｙ
ではないわな
そもそも一般の集合では∈が推移的でないんだから意味ない
順序数というのは∈が推移的なだけでなく整列順序になってる
という特殊な集合なんだよ
ニワトリにはそのことが全然分かってないｗ
66(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:12:31.56 ID:cMDg8k3q(2/6) AAS
>>55 追加
分かりました、分かりました（＾＾
要するに、正則性公理→フォン・ノイマン宇宙やね
そして、我々が通常学部数学扱う集合は、フォン・ノイマン宇宙内
フォン・ノイマン宇宙内は、「遺伝的整礎集合全体のクラス」
で、モストフスキ崩壊補題（>>37）「ZFの集合モデルは集合状かつ外延的である。 モデルが整礎的なら本補題により、ZFの推移的モデルと一意的に同型である」
なので、普通（ＺＦＣ内で）はベン図で議論してよいってことだな（＾＾
なお「正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。」
（フォン・ノイマン宇宙 ja.wikipediaより）
ってことね（「非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていない」）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%AD%A3%E5%89%87%E6%80%A7%E5%85%AC%E7%90%86
正則性公理
(抜粋)
ZF公理系を構成する公理の一つで、1925年にジョン・フォン・ノイマンによって導入された。選択公理と同様、様々な同値な命題が存在する。
定義
空でない集合は必ず自分自身と交わらない要素を持つ。
以下の4つの主張はいずれも同値であり、どれを正則性の公理として採用しても差し支えない。
・V=WF
ここで、Vはフォン・ノイマン宇宙を指し、WFは0に冪集合の演算を有限回、あるいは超限回繰り返して得られる集合全体のクラスを指す。 ZF公理系の他の公理系から得られる種々の集合演算(対集合、和集合、冪集合) の結果としての集合は常にWF内に含まれるため、V=WFの仮定は全ての集合を0に通常の集合演算を施すことによって得られるものだけに制限することを主張している。
クラスWFはこれらを全て集めたものとして定義され、後に示すように、WFは全てのwell-founded集合からなる。
つづく
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