[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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378(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/20(金) 23:20:21.93 ID:ihE7M+Qz(7/9) AAS
>>376
コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルもほんと低レベルだな〜ｗ（＾＾
必死の論点そらし、ご苦労さん
まあ、下記でもご参照
「表記と慣例」
「同値類を表すのに代表元に施す角括弧をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す」
「合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる」
そのうえでの、「Z/2Z = {0, 1} 」ってですよ（＾＾；
同一視は、上記の”hiroyukikojima” ”「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ”
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%89%B0%E4%BD%99%E9%A1%9E%E7%92%B0
剰余類環
(抜粋)
本項は剰余類環 Z/nZ の代数的な定義と性質について述べる。合同類別に関するより平易な導入については整数の合同を参照のこと。
定義
n >= 2 を自然数とする。n で割った剰余が等しい整数をすべて集めたものを、「n を法とする」合同類あるいは剰余類と呼ぶ。
代表元 (representive, Vertreter)
a の属する剰余類を [a] と表
表記と慣例について
Z/nZ と書くのが、面倒だがもっとも誤解は少ないだろう。
記号の濫用だが、記述の面倒を避けるため慣例的に、同値類を表すのに代表元に施す角括弧をしばしば省略して、代表元とそれが属する合同類とを同じ文字で表す。
同じ合同類を表すのに無数の符牒が与えられていることになる。
慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。
性質
任意の自然数 n >= 2 に対して Z/nZ は、nZ を零元、1 + nZ を単位元とする可換環を成す。
慣例的に合同類を表す符牒が無数にあるという不定性を除くために、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、それと合同類とを同一視することもよく行われる。
2 を法とする剰余類環
整数を 2 で割った剰余は 0 か 1 となるから、Z/2Z = {0, 1} であり、これはすべての剰余類環のなかで位数最小のものである。また、2 は素数なのでこれは位数最小の有限体 F2 とも一致する。
つづく
379(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/20(金) 23:21:17.83 ID:ihE7M+Qz(8/9) AAS
>>378
つづき
一般化
剰余類の概念は整数環ではないほかの環に対しても考えることができる。イデアルの概念を定義して、イデアルを法とする剰余類を構成すれば、それらの全体は再び環を成し、環のイデアルによる剰余（類）環あるいは商環と呼ばれる。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E6%95%B0%E3%81%AE%E5%90%88%E5%90%8C
整数の合同
(抜粋)
合同類環 Z/nZ
加法: 二つの剰余類 a, b に対して剰余類 a + b modulo n を割り当てる。理論的には整数の加法と異なる和であるから別の記号で表すべきであるかもしれないが、簡便さを保つために整数の和と同じ記号 "+" をそのまま使うことも多い。
合同類環 Z/nZ の構成は環のイデアルによる商構成である。環 Z/nZ の代数的性質に関しては合同類環の項へ譲る。
(引用終り)
以上
385(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/21(土) 06:05:59.58 ID:s+bHRCsH(2/17) AAS
>>378
>必死の論点そらし、ご苦労さん
必死の回答拒否、ミットモナイｗ
>>376の質問に答えられない時点で
テツガクシャ1は要素と部分集合が理解できてない
と白状したわけだｗ
>Z/2Z={{0,2,4,…},{1,3,5,…}}とする
>1) Z/2Zの元を全て列挙せよ
答えは{0,2,4,…}と{1,3,5,…}の２つ
0,1,2,3,4,5,…とか答えるテツガクシャ1は
正真正銘の白痴ｗ
>2) Z/2Zの部分集合を全て列挙せよ
答えは{},{{0,2,4,…}},{{1,3,5,…}},{{0,2,4,…},{1,3,5,…}}の４つ
{0,2}とか{1,3}とか答えるテツガクシャ1は
正真正銘の白痴ｗ
ついでにいえば{{0,2,4,…},{1,3,5,…}}と{0,1}は別の集合
「同じとみなす」を「同じである」と読むのは白痴ｗ
390(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/21(土) 07:34:34.45 ID:RSxZzkRi(1/13) AAS
>>378 補足
コケコッコー（おれ）もレベル低いけど、おサルもほんと低レベルだな〜ｗ（＾＾
必死の論点そらし、ご苦労さん
もう一度纏めます（＾＾
１）ヒトは、「同一視」と「同一」の区別ができる。おサルはできない。それに尽きるのかも
２）整数Zに合同（≡又はmod）を定義して、あるnによる同値類とその集合Z/nZを考える
３）Z/nZ = {0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZ}である
４）各0 + nZ, 1 + nZ, ・ ・ ・ , (n - 1) + nZたちは、無限集合である
５）Z/nZは、剰余類環の表記と慣例により、各合同類から「標準的」(canonical) な代表元を選んで、
Z/nZ = {0, 1, ・ ・ ・ , (n - 1)} と簡素に表記される
（”=”は、「同一視」で、「同一」ではない）
なお、Z/2Z = {0, 1} である
正確に書けば、Z/2Z = {[0], [1]} で、[0], [1]は同値類。0, 1は、標準的な代表元である
６）だから、Z/nZから、合同による類別をやめれば、Zが復元できる
この意味で、Z/nZには、Zの元が全て入っている（集合論の厳密な”∈”とは別の意味で）
７）Z/nZの中の任意の整数mと、Zの元の中の任意の整数mとは、対応が付く
対応を、写像と考えることができる
８）繰返すが、ヒトは「同一視」と「同一」の区別ができる
Z/2Z = {0, 1} の”=”は、「同一視」だが、これを完全に「同一」と思い込んでしまうのはおサルです（＾＾
（参考）
https://hiroyukikojima.hatenabloｇ.com/entry/20140606/1402035822
hiroyukikojima’s blog 小島寛之
2014-06-06
「同じと見なす」ことの素晴らしさと難しさ
(抜粋)
この本には、複数のコンセプトが込められているのだけど、その中で非常に大きいのが、「同じと見なす」という数学固有のテクニックをこれでもか、というぐらいに徹底的に解説することだ。
「同じと見なす」ということを、数学の専門の言葉では「同一視」という。この「同じと見なす」という数学の手法は、高校までの数学ではほとんど表れない。
つづく
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