[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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31(7): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/11(水) 07:43:52.73 ID:IlUCyPH9(4/9) AAS
>>30
つづき
５）∈−順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
６）で、我々が通常扱う集合は、超限帰納法も適用可の場合が多く、∈−順序が成立つとして良い
∈−順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
７）「まったく別もの」ではないが、別もの
８）なお、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、素朴集合論のベン図に反例が出る
つまり、x ∈ yであるにも関わらず、xのある元 u ∈ x で、u not∈ y となると、素朴集合論のベン図が描けないｗ（＾＾；
（∈−順序を仮定しないとどうなるか？ 上記のように、分からんかった（＾＾；
坪井先生の上記、”整列順序の全体は（大きすぎて）集合にはならない”のような記述もあるので、
自分の考えが、”公理的集合論”の範囲内か範囲外かが、判断できないので、ギブアップします）
（参考）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/
Akito Tsuboi 筑波大
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/under.html
学群関係
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
（追加参考）
https://www.practmath.com/ordinal-number/
実用的な数学を
2019年4月18日 投稿者: TAKAN
順序数 Ordinal Number
(抜粋)
ともあれそんな『比較』ですが、
なにでやるかというと、「帰属関係 ∈ 」を使ってやります。
(引用終り)
以上
34(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/11(水) 07:53:09.60 ID:IlUCyPH9(6/9) AAS
>>32
＞x ∈ y → x ⊂ y の初等的反例を示してるぞ
（>>31より）
８）なお、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、素朴集合論のベン図に反例が出る
つまり、x ∈ yであるにも関わらず、xのある元 u ∈ x で、u not∈ y となると、素朴集合論のベン図が描けないｗ（＾＾；
(引用終り)
（＾＾；
36(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/11(水) 14:05:23.70 ID:z0Cctf8f(1/10) AAS
>>31 訂正
７）「まったく別もの」ではないが、別もの
↓
７）「別もの」だが、「まったく別もの」ではない
かな（＾＾；
補足
繰り返すが、
・>>30での、筑波大 坪井先生
公理的集合論「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが，x も一つの集合だと考える」
（”元x も一つの集合だと考える”とすると、直感的には、x ∈ y → x ⊂ y だろうと）
・（>>31より）∈−順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
・∈−順序を認めないと、超限帰納法が適用困難になる（別の整礎関係（下記）の定義が必要になる）
・”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、素朴集合論のベン図に反例が出る
つまり、x ∈ yであるにも関わらず、xのある元 u ∈ x で、u not∈ y となると、素朴集合論のベン図が描けないｗ（＾＾；
・あと”モストウスキーの崩壊補題”との関係で、
普遍的な整礎関係：「クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる」
とあるので、 (C, ∈) つまり∈−順序は普遍的と考えてよいのかも
（そもそも、クラス Xとかクラス Cとか、学部の集合論を超えていると思うが（＾＾； ）
で、要するに、ベン図反例のある集合論もありのだろうが
（私は聞いたことはないが、理論的に否定できなければ存在するのだろう）、
現実の我々が日常接する集合（大学学部レベルで（それ以上は知らず））は、
∈−順序を認めて、素朴集合論のベン図が描けるものに限定して、良いのではないだろうか？（＾＾
参考
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%95%B4%E7%A4%8E%E9%96%A2%E4%BF%82
整礎関係
(抜粋)
モストウスキーの崩壊補題 (Mostowski collapse lemma) によれば、集合要素関係 (set membership) は普遍的な整礎関係である。
つまり、クラス X 上の集合的な整礎関係 R に対し、クラス C が存在して、(X, R) が (C, ∈) に同型となる
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%A2%E3%82%B9%E3%83%88%E3%83%95%E3%82%B9%E3%82%AD%E5%B4%A9%E5%A3%8A%E8%A3%9C%E9%A1%8C
モストフスキ崩壊補題
以上
46(2): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/11(水) 19:21:47.16 ID:h4/yIPnA(6/12) AAS
>>30
>我々の通常接する素朴集合論に近い議論では、
>”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めた方が良い
こりゃまたヒドイ・・・
>>31
>我々が通常扱う集合は、
>超限帰納法も適用可の場合が多く、
>∈−順序が成立つとして良い
そんなわけないだろ
>∈−順序が成立つ場合は、
>”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
「∈ がその上で整列順序になる集合」
って順序数だろ
いつどこで誰が
「一般の集合が順序数になる」
と証明したんだ？
もしかして、まだ
「選択公理から、どんな集合も整列順序がつけられる
だからどんな集合も∈に関する整列順序集合だ！」
とかトンチンカンな勘違いしてるのか？
52(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/11(水) 20:45:44.41 ID:IlUCyPH9(8/9) AAS
（>>30-31）
筑波大 坪井先生の数理論理学IIをベースに考えてみよう
P5 公理的集合論「x ∈ y の直観的な意味は，もちろん元x が集合y に属することであるが，x も一つの集合だと考える．」
なので、元ｘを、ベン図の点で表わす必要ないよね
おサルのベン図はしらんけどなｗ（＾＾；
アホなおサルｗ
（参考）
http://www.math.tsukuba.ac.jp/~tsuboi/und/14logic3.pdf
数理論理学II Akito Tsuboi 筑波大
55(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/11(水) 21:00:56.13 ID:IlUCyPH9(9/9) AAS
（>>30-31）
> ５）∈−順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
> だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
∈−順序は、推移的なので、
u ∈ x ∈ ｙ なら
三重丸を描けば良い
一番内側がｕ、中間がｘ、一番外がｙ
それをベン図で解釈すれば、
u ⊂ x ⊂ ｙ
それで、ｘの元である集合ｕにおいて、
その元が１点集合たち u1,u2,・・・,un ∈ｕだったとすれば
一番内側の丸のｕの中に、u1,u2,・・・,un達を描く。それは１点で表現しても良い（＾＾
ベン図の包含関係から
u1,u2,・・・,un ∈ｘであり
u1,u2,・・・,un ∈ｙである
これ即ち、∈−順序の推移性そのものでしょ（＾＾；
おサル、しっかり踊れよ ｂｙ サル回しのスレ主より ｗ（＾＾；
75(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/12(木) 13:33:21.57 ID:2dM7jvB/(6/7) AAS
>>74 追加
（>>36より再録）
・（>>31より）∈−順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
(引用終り)
順序というのは、すべからく、推移律を満たすものである（下記）ｗ（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%A0%86%E5%BA%8F%E9%9B%86%E5%90%88
順序集合
(抜粋)
定義
全順序集合、半順序集合、およびこれらよりさらに弱い概念である前順序集合の定義を述べる為にまず以下の性質を考える。ここで P は集合であり、「<=」を P 上で定義された二項関係とする。
・反射律：P の任意の元 a に対し、a <= a が成り立つ。
・推移律：P の任意の元 a, b, c に対し、a <= b かつ b <= c ならば a <= c が成り立つ。
・反対称律：P の任意の元 a, b に対し、a <= b かつ b <= a ならば a = b が成り立つ。
・全順序律：P の任意の元 a, b に対し、a <= b または b <= a が成り立つ。
「<=」が全順序律を満たさない場合、「a <= b」でも「b <= a」でもないケースがある。このようなケースにあるとき a と b は比較不能 (incomparable) であるという。
前順序・半順序・全順序
P を集合とし、<= を P 上で定義された二項関係 とする。
・<= が反射律と推移律を満たすとき、<= を P 上の前順序（英語版）という。
・<= が前順序でありさらに反対称律を満たすとき、<= を P 上の半順序という。
・<= が半順序でありさらに全順序律を満たすとき、<= を P 上の全順序という。
<= が前順序であるとき (P, <=) を前順序集合という。同様に <= が半順序なら (P, <=) は半順序集合、全順序なら (P, <=) は全順序集合という。
154(3): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/14(土) 16:14:55.86 ID:VYIPOabR(15/30) AAS
>>153
ニワトリ 破滅への道 ?
>> ニワトリの発言
＞ 他者の発言
３． ニワトリ 前スレ845の１）について見当違いな理由による正当化発言ｗ >>30-31
（１） まず順序数について成り立つことを述べる （正しいのはここだけｗ）
>>１）二つの集合A,Bで、A ∈ B → A ⊂ B
>>「基本的な考え方は，∈ がその上で整列順序になる集合たちのクラスを
>>上手に定義して，それに属する集合を順序数として定義すること」
>>（要するに、∈−順序な）
>>∈−順序は、推移的なので、xの任意の元 u ∈ x が成立つと、x ∈ y → u ∈ ｙ成立（∵推移性より）
>>だから、この場合は”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
（２） で、ここでなぜか一般の集合も順序数だといいはるトンデモ発言ｗ
>>で、我々が通常扱う集合は、超限帰納法も適用可の場合が多く、∈−順序が成立つとして良い
>> ∈−順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
>>36
>>∈−順序を認めないと、超限帰納法が適用困難になる
（３） さらにベン図を持ち出す醜態
>>なお、”x ∈ y → x ⊂ y ”を認めないと、素朴集合論のベン図に反例が出る
>>つまり、x ∈ yであるにも関わらず、xのある元 u ∈ x で、
>>u not∈ y となると、素朴集合論のベン図が描けないｗ（＾＾；
>>（∈−順序を仮定しないとどうなるか？ 上記のように、分からんかった（＾＾；
>>36
>>現実の我々が日常接する集合（大学学部レベルで（それ以上は知らず））は、
>>∈−順序を認めて、素朴集合論のベン図が描けるものに限定して、良いのではないだろうか？（＾＾
４．すかさずトンチンカン発言をつっこまれるｗ >>46
>>∈−順序が成立つ場合は、”x ∈ y → x ⊂ y ”成立
＞「∈ がその上で整列順序になる集合」って順序数だろ
＞いつどこで誰が「一般の集合が順序数になる」と証明したんだ？
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