[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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200(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/15(日) 10:04:33.11 ID:NNU+uf1a(8/16) AAS
>>199
つづき
この問題に対して、おそらく数学の「歴史」は、今までのところ、あまりはかばかしい達成をあげていないんじゃないのかと思っている。
ただ、一つ。まあ、昔から知られている結果ではあるが、おもしろいアプローチが知られている。それが、
カテゴリー（圏論）
である。
集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。
ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は
集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。
一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。）
直感的に、これらの公理が「大きすぎない」（ＺＦＣのように、直感的に言い過ぎていると思われるような主張がない。）
ＺＦＣより「弱い」公理系であるが、これにある「公理」を加えれば、ＺＦＣと相当な内容だと解釈できる。
つまり、この公理系が魅力的なのは実際にその主張内容が、「私たちに直感的に理解可能なもの」しかないが、他方において、ＺＦＣの弱い主張と解釈できるとするなら、これを
数学の「基礎」
とすることは、どこまで可能なのか、ということになる、というわけである。
つまり、圏論的な道具の中で、なにがＺＦＣと「同一」の主張であるのか、といった衒学的な議論を超えて、こういった「弱い」主張はそれなりの数学の「安全さ」や「健全さ」を示している可能性がある、と考えられないか、というわけである...。
(引用終り)
以上
204(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/15(日) 10:31:19.50 ID:NNU+uf1a(11/16) AAS
>>200
>集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。
”「集合」と「属する」という「無定義用語」によって”か
なるほど
「属する」（∈）は、「無定義用語」（未定義用語）だったか
確かに、公理を記述するとき、どうしても、「無定義用語」（未定義用語）は避けられない
それは、少ない方がいいのだが
公理的集合論では、「属する」（∈）は、「無定義用語」（未定義用語）だとすると
あとは、それをどう解釈し運用するかだな
そこを書いているのが、下記 >>164 酒井 拓史 神戸大学 だな（＾＾
https://www.sci.shizuoka.ac.jp/~math/yorioka/ss2019/sakai0.pdf
P17
整礎的関係
R を集合X 上の二項関係とする．
基礎公理により，すべての集合X に対して，
∈｜ X := {(x; y) ∈ X × X | x ∈ y}
はX 上の整礎的な二項関係．
(引用終り)
233(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/16(月) 10:38:29.68 ID:Snw5PyNp(3/6) AAS
>>188
(引用開始)
１）素朴集合の元（要素）として
・大工道具セットの箱A（ノコギリ、金槌、ドライバー）
・釣り道具セットの箱B（釣り竿、釣り針、釣り糸）
・ケースに入れたノコギリ＝{ノコギリ} （一元集合とする（ノコギリはよく使うため））
・大工道具セットの箱C（金槌、ドライバーのみ）（ノコギリを出した）
(引用終り)
別の素朴集合論の例を考えてみよう
１）ある会社A社があって、事業部が３つ、第一、第二、第三
２）各事業部には、部が３つ、第一、第二、第三
３）各部には、課が３つ、第一、第二、第三
４）A社＝{第一事業部、第二事業部、第三事業部}
以下同様に、集合で、部、課などとつづく
５）第一事業部第一部第一課の課員に、aさんというヒトがいるとする
a∈第一事業部第一部第一課 です！
６）一方、普通は、aさんは、A社の社員でもありますから
a∈A社 なんですよね、素朴集合論では（＾＾；
公理的集合論と（アトムのある）素朴集合論とで、∈の意味づけが、微妙に違うのかもね
もっとも、「∈の定義は？」と聞いても、
集合論では”「集合」と「属する」は「無定義用語」”らしいので（下記ご参照）
その答えは出ないようですが（＾＾；
なお、>>232 http://www.ivis.co.jp/text/20190619.pdf 代替集合論 （Alternative Set Theories）の調査 2019/6/19 古賀明彦 わかみず会用資料
も、ご参照
（>>199-200より）
https://martbm.hatenabloｇ.com/entry/20170723/1500777080
martingale & Brownian motion
2017-07-23
ＺＦＣの圏論での「代替」には意味があるのか？
(抜粋)
集合論の圏論的な公理のうち評判のよいものを一つ選ぶと、形式ばらない要約は次のようになる。
ようするに、上記の引用にある圏論的な公理は
集合論ではない（「集合」と「属する」という「無定義用語」によって、公理系を記述していない。あくまで「圏論」流に、「対象Ａから対象Ｂへの射」という「無定義用語」しか本質的に使っていない。
一見、「集合論」的な無定義用語は出現するが、それはあくまで「定義」という、用語上の簡易性から導入されているにすぎない。）
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