[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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136(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 11:27:47.53 ID:QdZ5TU5n(5/19) AAS
>>135
つづき
https://googology.wikia.org/ja/wiki/%E9%9A%8E%E5%B1%A4%E5%86%85%E9%9A%8E%E5%B1%A4%E5%9F%BA%E6%95%B0
階層内階層基数 | 巨大数研究 Wiki | FANDOM powered by Wikia
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙
フォン・ノイマン宇宙とはZFCで扱うことが出来る全ての集合を漸増的に定義する真クラスである。
それは集合ではないが、「全ての集合の集合」とみなすことができる。
それは累積階層という、次のように定まる超限列により定義される:
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%86%AA%E9%9B%86%E5%90%88
冪集合
(抜粋)
冪集合（べきしゅうごう、英: power set）とは、数学において、与えられた集合から、その部分集合の全体として新たに作り出される集合のことである。
集合と呼ぶべき対象を公理的に構成的に与える公理的集合論では、集合から作った冪集合が集合と呼ばれるべきもののうちにあることを公理の一つ（冪集合公理）としてしばしば提示する。
定義
集合 S が与えられたとき、S のどの部分集合をも元とする集合
P(S):={A： a set ｜ A ⊆ S}
を S の冪集合と呼ぶ。
例えば
・P( Φ )={ Φ }
・P({a})={ Φ ,{a}}
などとなる。空集合の冪集合は空集合を唯一つの元として持つ一元集合であり、空集合とは別のものである。
つづく
137(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/14(土) 11:28:07.67 ID:QdZ5TU5n(6/19) AAS
>>136
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%85%AC%E7%90%86%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96
公理的集合論
(抜粋)
集合の公理系
現在一般的に使われている集合の公理系は以下の ZFC である。
・対の公理 任意の要素 x, y に対して、x と y のみを要素とする集合が存在する：
これを{x,y}で表す。
・和集合の公理 任意の集合 X に対して、X の要素の要素全体からなる集合が存在する：
(>>118)
（参考）
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E6%8E%A8%E7%A7%BB%E7%9A%84%E9%9B%86%E5%90%88
推移的集合
(抜粋)
集合論において、集合 Aが推移的であるとは、
・x ∈ Aかつy ∈ x、ならばy ∈ A もしくは、同じ意味であるが
・x ∈ AかつxがurelementでないならxはAの部分集合である。
ということ。
同様にクラスMが推移的であるとは、Mの要素は全てMの部分集合であることをいう。
例
ジョン・フォン・ノイマンによる順序数の定義を用いると、順序数は遺伝的に推移的な集合として定義される
すなわち、順序数は推移的集合でその要素も全て推移的で(よって順序数でも)ある。
フォン・ノイマン宇宙 Vや 構成可能宇宙 L の構成の際に現れる Vα や Lαといった全ての階層も推移的集合である。
宇宙 L と V もそれ自体推移的クラスである。
つづく
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