[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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92(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:22:57.11 ID:nJx1ApW/(1/7) AAS
>>81
>・おっと、そもそもあなたは、公理的集合論では、集合の元もまた一つの集合ってこと、公理的集合論ではおサルやイヌの集合は登場しないのだよ。素朴集合論の思考のクセが抜けてないみたいだねｗｗ（＾＾
いつもお世話になっております”再帰の反復”さん（＾＾
下記が、素朴集合論と公理的集合論との関係をうまく説明している
坪井先生の（>>90）「定義18. 1. x が推移的である(Trans(x)) とは，∀y∀z(z ∈ y ∈ x → z ∈ x)」も、これで理解しやすくなるでしょ（＾＾
（参考）
https://lemniscus.hatenabloｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
目次
1.素朴集合論
・素朴集合論の公理
・素朴集合論のパラドクス
2.内包公理の放棄
3.整礎原理
・
・
6.集合観から公理へ
・
・
・正則性公理
7.ZFC
8.クラス
9.到達不能基数
3. 整礎原理
まず次の考え方をとることにする。
自分自身を含むような集合は存在しない。
これを採用するのは、必ずしもパラドクスを避けるためではない。
たとえば「集合とは要素を集めたものである」という見方を取ると、論理的な順序としてまず要素があってからそれらを含んでいる集合が存在しているので、集合が自分自身を含んでいるのはそもそもおかしいことになる(一方、概念と集合の存在を結びつける内包公理の見方では、ある概念がその概念自身にも当てはまることがあるのだから、ある集合がその集合自身に含まれていても別におかしくはない)。
また別の理由として、自分自身を含む集合を認めると集合の同一性が外延公理だけでは決まらない(のが嫌だ)というものがある。
自分自身だけを含むような集合としてaとbを取ったとする。
a={a}
b={b}
が成り立っている。このとき、aとbは等しいだろうか。
内包公理のもとでは、aの存在もbの存在も何らかの概念P(x),Q(x)によっている。
a={x|P(x)}
b={x|Q(x)}
したがってP(x),Q(x)を見ることでaとbが等しいかどうかを調べることができる。
つづく
93(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:23:43.18 ID:nJx1ApW/(2/7) AAS
>>92
つづき
しかし内包公理を取らない立場では、aとbが等しいかどうかを判断するためには何らかの新しい原理が必要になる。
そして、そのような新たな原理を積極的に提案するよりも初めから自分自身を含むような集合を排除して考えようということになる
(この場合必ずしも自分自身を含む集合は存在しないと強く主張する必要はなくて、そういうものは排除した範囲で考えようという立場かもしれない)。
いずれにしても自分自身を含む集合を認めないなら、同様の理由で
a∈b∈aとかa∈b∈c∈aとなるような集合も認められない。もっと一般的に
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…
となるようなものは認められない(自分自身を含む集合はa∋a∋a∋…となりこれに反している)。
「まず要素があってから集合がある」という考え方によればこのような集合は存在しないし、このような集合の同一性は外延公理だけでは決まらないので。
このような集合が存在しないことを整礎原理と呼ぶことにする。
整礎原理
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。
整礎原理は、どんな集合が存在するのかについては積極的に主張していないけれど、ここから集合の間に成立している秩序が見えてくる。
まず自分自身を含んでいたり包含関係が循環することがないため、「∈」について順序関係が成立することになる。
つまり包含関係「∈」に基づく「より単純な集合」←→「より複雑な集合」という相対的な位置づけを与えることができる。しかも包含関係「∈」を内側にたどっていくと必ずどこかで終わるので、「より単純な集合」←→「より複雑な集合」のうち、「より単純な集合」の方向はどこかで終点に至る。
整礎原理の成り立つ集合世界では、もっとも単純な集合から始まってだんだん複雑な集合に向かっていくという整然とした秩序が存在する
(この秩序は集合の要素数の大小関係とは異なる。たとえば0∈N∈{N})。
もっとも単純な集合は、要素を何も含まない空集合Φである。空集合Φはもちろん存在してほしい。
またこの空集合を元にして、{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}},{{{{Φ}}}},…とか{Φ,{Φ}},{Φ,{Φ},{{Φ}}},{Φ,{Φ},{{Φ}},{{{Φ}}}},…といった集合も存在していてほしい。
つづく
94(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:24:06.64 ID:nJx1ApW/(3/7) AAS
>>93
つづき
正則性公理
反復的集合観に先立って次の整礎原理を述べた。
整礎原理
a1∋a2∋a3∋a4∋a5∋…とどこまでも続くような集合は存在しない。
これを次のように公理化する。
正則性公理（定義）
∀s(s≠Φ→∃x∈s(x∩s=Φ))
(反復的集合観によれば、sに含まれるどの要素もsが現れる段階よりも低い段階で現れる。
sの要素の中で最も低い段階に現れるものをxとすれば、xとsが共通要素を持つことはない。
もしあればそれはxよりも低い段階に現れるsの要素になりxの取り方に反するので)
ただし正則性公理を追加したからといって、x1∋x2∋x3∋x4∋…となる集合や自分自身を含む集合の存在が証明されないことを保証しているわけではない
(ある公理から何かの存在が導かれるときに非存在を主張する公理を追加しても、存在するという証明を打ち消すことはできない。
単に矛盾が導かれるようになるだけ)。
元の公理系が「自分自身を含む集合はあってもいいし、なくてもいい」というものだとしたら、正則性公理の追加によって自分自身を含む集合の存在は排除される。
でも元の公理系で自分自身を含む集合の存在が導かれるとしたら、そこに正則性公理を追加しても矛盾が導かれるようになるだけ。
つづく
95(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:24:41.66 ID:nJx1ApW/(4/7) AAS
>>94
つづき
7. ZFC
ここまで出てきた公理を列挙すると次のようになる。
8. クラス
ZFCでは内包公理は認められない。
しかし、ある概念(を定義した述語)P(x)があるならばそれに対応する集合{x|P(x)}について語るというのは数学でごく普通におこなわれることなので、集合論でもそのような言い方を使いたい。
そのために{x|P(x)}の形の式を集合とは呼ばずにクラスと呼ぶことにする。
クラスは集合論のファーストクラスオブジェクトではなく、構文上のマクロのようなものにすぎない。
集合論の基本的な述語は「=」と「∈」の二つ
クラス用の変数も導入できるのだけど、これも集合論の体系自体には含まれない一種の省略記法として扱われる。
9. 到達不能基数
置換公理によって「果てしなく続く段階」や濃度の非常に大きな集合の存在が出てくるのだけど、さらに「その先」を考えることもできる。
濃度(無限の大きさ)について考える。
（以下は、あんまり関係ないが（本当は正則性公理「sの要素の中で最も低い段階に現れるもの」の関連で調べた）、メモ貼る）
https://en.wikipedia.org/wiki/Upper_set
Upper set
(抜粋)
In mathematics, an upper set (also called an upward closed set or an upset) of a partially ordered set (X, ?) is a subset U of X such that if x is in U and x ? y, then y is in U.
The dual notion is a lower set (also called a downward closed set, down set, decreasing set, initial segment, or semi-ideal), which is a subset L of X such that that if x is in L and y ? x, then y is in L
(引用終り)
以上
96: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:29:35.73 ID:nJx1ApW/(5/7) AAS
>>95 追加
なんか文字化けあるね
英文からのコピペ
貼付けの目視では、正常なんだが
投稿後見ると
化けている
a partially ordered set (X, ?)
おっと、専用ブラウザのプレビュー見ると
これ、文字化け分かるね
ずぼらしちゃ、いけないね
これ
a partially ordered set (X, <=)
なんだよ
これから、できるだけ
プレビュー確認するわ（＾＾；
まあ、今回は原文見てください
97: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 11:43:26.53 ID:nJx1ApW/(6/7) AAS
おサルが、「無限小数激論スレ★1」へ行ったみたいで
いま、このガロアスレは、勢いで5位か
まあまあだな
ガロアスレの58（20代くらい前）が、いまだ13位って、どんだけ過疎板なんだよ
数学板って
”プロ固定”とか、うるさくいうやつが過去居たけど
これみりゃ、”プロ固定”なら、こんな過疎板やめて、他の板へとっくに移っているって、分かるでしょ
遊びでなけりゃ、やれないよ、こんな過疎の場所ではね（＾＾；
（参考）
http://49.212.78.147/index.html?board=math
数学：2ch勢いランキング
9月13日 11:30:28
(抜粋)
順位 6H前比 スレッドタイトル レス数 勢い
1位 = 0.999…＝1か！？無限小数激論スレ★1 775 139
2位 = 【未解決問題】奇数の完全数が存在しないことの証明4 919 31
3位 ↑1 高校数学の質問スレPart401 198 26
4位 ↑1 数学の本 第85巻 791 25
5位 ↑1 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 91 25
6位 ↓-3 新しい数式何だが、どうだろう 22 25
7位 = 素人には 8÷2(2+2) を16と答える馬鹿が居るらしい 900 22
8位 ↑1 Inter-universal geometry と ABC予想 41 452 21
9位 ↓-1 分からない問題はここに書いてね456 96 20
10位 = 現代数学はインチキだらけ 81 17
12位 = ガロア優秀仮面理論についてwwwww 128 5
13位 = 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む58 875 4
98: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/13(金) 13:52:56.40 ID:nJx1ApW/(7/7) AAS
>>92 追加引用
下記、分かり易いわ
おサルが、素朴集合論の思考のクセに抜けきれず、躓いていることがよく分かるねｗ（＾＾；
https://lemniscus.hatenabloｇ.com/entry/20120616/1339838683#sec6-7
再帰の反復blog
2012-06-16
反復的集合観と公理的集合論
(抜粋)
目次
1.素朴集合論
・素朴集合論の公理
(抜粋)
素朴集合論の公理
「集合とは、概念の外延である」という主張を公理化すると
概念があれば、それに対して集合が考えられる(内包公理)
集合(=概念の外延)の同一性はそれに含まれる対象によって定まる(外延公理)
という2つの公理にまとめられる。
2. 内包公理の放棄
素朴集合論では矛盾が生じてしまうので、どこかを手直ししないといけない。
・外延公理は「集合とはどんなものか」についての公理
・内包公理は「どんな集合が存在するか」についての公理
ラッセルのパラドクスも他の集合論のパラドクスも「何かおかしな集合の存在について考えると矛盾する」という話なので、内包公理を捨てることにする(実際には他の選択肢も考えられるが話の都合上こうなる)。
すると「どんな集合が存在するか」について内包公理とは違う考え方が必要になる。
(引用終り)
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