[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む77 (1002ﾚｽ)
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865: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 00:02:14.57 ID:OrOarbJT(1/12) AAS
>>863
オイラーのφ関数は、最初に１が出たあとは、全部偶数なんですね（＾＾；
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AA%E3%82%A4%E3%83%A9%E3%83%BC%E3%81%AE%CF%86%E9%96%A2%E6%95%B0
オイラーのφ関数
(抜粋)
オイラーのトーシェント関数（オイラーのトーシェントかんすう、英: Euler's totient function）とは、正の整数 n に対して、 n と互いに素である 1 以上 n 以下の自然数の個数 φ(n) を与える数論的関数 φ である。
1 から 20 までの値は以下の通りである。
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8,…(オンライン整数列大辞典の数列 A000010)
1761年にレオンハルト・オイラーが発見したとされるが、それより数年前に日本の久留島義太が言及したとも言われる。
https://oeis.org/A000010
The On-Line Encyclopedia of Integer Sequences!)
A000010 Euler totient function phi(n): count numbers <= n and prime to n. AUTHOR N. J. A. Sloane Last modified October 15 07:56 EDT 2019.
(抜粋)
(Formerly M0299 N0111) 2846
1, 1, 2, 2, 4, 2, 6, 4, 6, 4, 10, 4, 12, 6, 8, 8, 16, 6, 18, 8, 12, 10, 22, 8, 20, 12, 18, 12, 28, 8, 30, 16, 20, 16, 24, 12, 36, 18, 24, 16, 40, 12, 42, 20, 24, 22, 46, 16, 42, 20, 32, 24, 52, 18, 40, 24, 36, 28, 58, 16, 60, 30, 36, 32, 48, 20, 66, 32, 44 (list; graph; refs; listen; history; text; internal format)
(引用終り)
以上
871(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 07:44:43.92 ID:OrOarbJT(2/12) AAS
>>866
ID:eqCH01Ubさん、どうも。スレ主です。
筆算でね（＾＾
出来ると思うよ、やらないけど
>>869
>面白いですね
面白いよね
φ(n)は、数論のいたるところに出てくるね（＾＾
873(4): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 07:51:10.82 ID:OrOarbJT(3/12) AAS
>>859
>円分体の同型写像を具体的に構成せよ
めんどくさいやつだな
そうあせるな（＾＾
円分体は、草場公邦のP131にあるよ
そこから、手でコピータイプしても良いが
それでは、みなさん面白くないでしょｗ（＾＾；
http://www.asakura.co.jp/books/isbn/978-4-254-11467-6/
ガロワと方程式
A5変／192ページ／1989年07月10日
ISBN978-4-254-11467-6 C3341
草場公邦 著
(抜粋)
目次
6. ガロワの理論とその応用
6.1 ガロワ拡大とガロワ群
https://hiroyukikojima（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾ ）
hiroyukikojima’s blog
2008-03-27
ガロアの定理をわかりたいならば
(抜粋)
数学の本を書くのを生業としているぼくでさえ、「よくわかる」本と出会えることは滅多にない。そんな中、最近になって出会って、すばらしいと思っているのは草場公邦先生の本である。以下の三冊を読んだ。
ガロワと方程式 (すうがくぶっくす)
作者: 草場公邦
出版社/メーカー: 朝倉書店
発売日: 1989/07/01
メディア: 単行本
どれもすばらしいが、とりわけ最初の『ガロワと方程式』はめちゃめちゃいい。ガロア理論とは栄光なき天才たち - hiroyukikojimaの日記で紹介した二十歳で決闘で死んだ薄命の天才ガロアの生み出した理論である。
（ ちなみにフランス語では、ガロワと発音するのが正しいらしく、草場先生はわざとそういう表記を使っているが、日本では一般にガロアが流布している） 。
つづく
874(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 07:51:58.49 ID:OrOarbJT(4/12) AAS
>>873
つづき
これは、「5次以上の方程式には解の公式が存在しない」ということを証明するために編み出された理論であり、現代代数の先駆けとなったスゴモノである。(ちなみに誤解を最小限にするために言っておくと、何次方程式でも必ず複素数の解を持っている。
問題は、それをオートマチックに求める公式があるかどうかであり、5次以上にはそういう便利な公式がない、というのがガロアの定理なのである) 。
ぼくは、数学科のときは代数を専攻したので、ガロア理論は必須の道具であり、一生懸命勉強したのだけど、最終的に「身体でわかった！」というところにたどり着くことができなかった。
おおざっぱには捉えることはできたんだけど、機微が掴めておらず、少なくとも「アタリマエ」になるほどには理解していなかったのである。（ そんなだから数学の道に挫折することになったのだけどね)。
ところが、最近になってこの『ガロワと方程式』を読んで、急に視界が開け、「アタリマエ」とまではいわないけど、「よくできた自然な理論だなあ」というところまで理解できるようになってしまったのだ。
数学科で勉強していた頃から見れば、もう四半世紀も過ぎて達した境地というのもスゴイやら情けないやらである。
(引用終り)
つづく
875(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 07:54:22.35 ID:OrOarbJT(5/12) AAS
>>874
つづき
(Brent Everitt先生、これお薦めです。カラーの絵が豊富で分り易い。（練習問題の解答が無くなっているね（＾＾ ））
https://arxiv.org/abs/1804.04657
Galois Theory - a first course
Brent Everitt
(Submitted on 12 Apr 2018)
These notes are a self-contained introduction to Galois theory, designed for the student who has done a first course in abstract algebra.
https://arxiv.org/pdf/1804.04657.pdf
ここで、円分体そのものじゃないけど、
方程式x^5 ? 2＝0のガロア群の絵解きがあるんだ。殆どこれで尽くされているね
イントロの部分で、”0. What is Galois Theory?”の章があって、
P7 (0.8)
A pentagon has 10 geometric symmetries, and you can check that all arise as symmetries of
the roots of x^5 ? 2 using the same reasoning as in the previous example. But this reasoning also
gives a symmetry that moves the vertices of the pentagon according to:
図略
This is not a geometrical symmetry ? if it was, it would be pretty disastrous for the poor pentagon.
Later we will see that for p > 2 a prime number, the solutions to xp ?2 = 0 have p(p?1) symmetries.
(引用終り)
とある
これの詳しい記述が本文にある
(なお、下記こちらは、過去スレでも紹介した2007版で古いけど、内容はほぼ同じで、最後に練習問題の解答が付いているよ（＾＾ )
http://www-users.york.ac.uk/~bje1/galnotes.pdf
Symmetries of Equations: An Introduction
to Galois Theory
Brent Everitt, version 1.12, December 19, 2007.
Department of Mathematics, University of York, York
以上
876: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 07:56:56.80 ID:OrOarbJT(6/12) AAS
>>875 文字化け訂正
x^5 ? 2
↓
x^5 - 2
などね
-の記号が、多分コードが違うので、目では見分けが付かず、この板では文字化けするんだ（＾＾；
891(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 20:48:59.29 ID:OrOarbJT(7/12) AAS
>>886
ID:z0qt+ZiN さん、どうも。スレ主です。
>演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」という問題があった
>「168の時はアレだけに限られる」が難しくて、次の週までに解けなかった思い出
えー
明治大 蔵野研では、位数30までで、学部卒業研究だとか
それが、演習で「位数200以下の単純群をすべて挙げよ」か
びつくりです（＾＾；
892: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 21:36:24.60 ID:OrOarbJT(8/12) AAS
>>891
>「168の時はアレだけに限られる」
これか
https://ja.wikipedia.org/wiki/168
168
(抜粋)
・168 は合成数であり、約数は 1, 2, 3, 4, 6, 7, 8, 12, 14, 21, 24, 28, 42, 56, 84 と 168 である。
・位数2の射影平面の自己同型群は位数168の単純群である。この群は5次の交代群に次いで位数の小さい単純群である。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%84%E5%BD%B1%E5%B9%B3%E9%9D%A2
射影平面
(抜粋)
有限位数の存在
射影平面の分類は全然終わっていない。いくつかの結果を位数の順に以下に示す。
・7 : 全て PG(2,7) に同型
https://ja.wikipedia.org/wiki/PSL(2,_7)
PSL(2, 7)
(抜粋)
射影特殊線型群PSL2(7) は、代数学、幾何学、数論といった分野で重要な役割を持つ有限単純群である。
PSL2(7)はクラインの平面4次曲線（英語版）の自己同型群と同型で、またファノ平面の対称性の群（英語版）とも同型である。
位数168の単純群はPSL2(7)と同型であり、位数60の交代群A5（PSL2(4)、PSL2(5)、正二十面体群と同型。）に次いで2番目に小さな非可換単純群である。
性質
PSL2(7)は168個の要素を持つ。これは行列の取り得る列の数を数え上げることで確認できる。
https://w.atwiki.jp/warawanu/pages/37.html
warawanu @ ウィキ
位数168単純群の一意性
(抜粋)
Gを位数168の単純群とする。 Gのシロー7群は8個，シロー3群は7個か28個である。位数21の元があればシロー2群が唯一になってしまう。
3群が7個では7群の正規化群が唯一，7群も唯一になってしまう。3群は28個である。位数6の元があればシロー2群が唯一になってしまう。以上により，位数7の元は48個，位数3の元は56個，位数2冪の元は残る63個である。
位数2冪の元が63個であるから，21個のシロー2群の内に自明でなく交わるものがある。その交わりCの正規化群について考える。
|NG(C)|は4より大きい4の倍数であるが，|NG(C)|=12は3群の正規化群の位数によって否定され，|NG(C)|=28と|NG(C)|=56は7群の正規化群の位数によって否定される。
結局，NG(C)は4次の対称群S4に同型であり，シロー2群は二面体群，シロー2群の交わりCは四元群である。
メモ
位数4が42個，位数2が21個，また，GからA7への準同型単射がある。
893(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 21:42:34.66 ID:OrOarbJT(9/12) AAS
>>887
そうあせるな
おれは楽しんでいるんだ
円分体ねー
深いねー
円分体の深みを再認識しているんだよ
あんたの質問の答え
もう答えは出ているでしょ（＾＾
>>873-875とか
分かってないね
894(2): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 21:57:25.87 ID:OrOarbJT(10/12) AAS
>>890
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
その議論はちょっと違うと思うよ
おまえ、なんか勘違いしていると思うよ
おまえ、>>849にも似たことを書いていたね（下記）
(>>849より引用開始)
>全体では、位数5の巡回群と位数5の巡回群の直積の群で、位数25の群
全体では、位数20の群ね
だいたい、25が120(5次の対称群S5の位数)の約数でない
時点でおかしいって気づけよｗ
(引用終り)
方程式のガロア群では、普通は基礎体はQに必要な1のベキ根は全て添加されているとして、議論を進める
そうすると、二項方程式 X^5-a=0 が既約として、この方程式のガロア群は、位数5の巡回群になると議論を単純化できる
この場合、群の位数は20ではない
>>890で、S_5 の部分群に位数20の部分群が存在することと
一方、基礎体Qに、1のベキ根が含まれていないときに、
二項方程式 X^5-a=0 のガロア群が位数20の群になることとは
別の議論だよ
900(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 23:29:32.47 ID:OrOarbJT(11/12) AAS
>>889
(引用開始)
「Q(ζn)/Qの自己同型をσとすると、
σ(ζn)は円分多項式Φn(x)=0の解となりますので、
σ(ζn)=ζn^i (i∈(Z/nZ)×)と表せます。
逆にi∈(Z/nZ)×に対してσiをσi(ζn)=ζn^iとすると
σiはQ(ζn)/Qの自己同型を導くことが分かります。」
(引用終り)
？？
>>858より
(引用開始)
http://hooktail.sub.jp/algebra/1sNthRoot/
１のｎ乗根 （Joh著） 物理のがきしっぽ
(抜粋)
系
Q に 1 の n 乗根 ζ を添加した拡大体を E とすると， [E:Q]=φ (n) がなりたちます．
さらにガロア群 G (E/Q) は Zn^xに同型となります．
(引用終り)
これと何が違う？(゜ロ゜;
全文引用していないが、リンク先の全文を読んでみな（＾＾；
901(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/16(水) 23:51:19.94 ID:OrOarbJT(12/12) AAS
>>896-897
なにを狼狽して誤魔化そうとしているんだ？？ｗ（＾＾；
>>890より
(引用開始)
「S_3, S_4, S_5 の部分群の分類」のところで
S_5の位数20の部分群も出てるぞ
(12345), (2354) が生成群だから
部分群に位数５と位数４の巡回群がある
(引用終り)
この「S_5の位数20の部分群 (12345)ｘ(2354)」は
>>805に書いておいたが、べき根で可解な既約5次方程式での最大の群だよ
この5次方程式は、二項方程式ではない
「可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003」を読んでみな
因みに、この話は、Coxのガロア本（訳本あるよ）や、エムポストニコフにもある
http://repository.hyogo-u.ac.jp/dspace/bitstream/10132/1612/1/ZD30301003.pdf
PDF 可解な5次方程式について - 兵庫教育大学 大迎規宏 著 -修士論文 2003
http://njet.oops.jp/wordpress/2009/02/21/david-cox-%E3%81%AE%E3%82%AC%E3%83%AD%E3%82%A2%E7%90%86%E8%AB%96%E3%81%AE%E6%9C%AC/
SUKARABE'S EASY LIVING
2009年2月21日 (土) 投稿者: SUKARABE
David Cox のガロア理論の本
(抜粋)
さすが Cox である。期待を裏切らないねえ?。
https://bluexlab.tokyo/812
2018.06.22MATH
整数論・数論の教科書で「名著」と呼ばれるものをご紹介 Written by Soichiro OMI bluexlab
(抜粋)
Galois Theory (Pure and Applied Mathematics: A Wiley Series of Texts, Monographs and Tracts)?David A. Cox 著
Coxによるガロア理論の教科書です。600ページを超える大著ですが、扱っている内容はそこまで難しいものではありません。
各節の終わりには「Historical Notes」が記載されており、理論の歴史的背景も学ぶことができます。
http://webcatplus.nii.ac.jp/webcatplus/details/book/277149.html
Webcat Plus
ガロアの理論
エム・ポストニコフ 著 ; 日野寛三 訳
(抜粋)
出版元 東京図書
刊行年月 1964
7. 根号で解かれる5次方程式 / p153
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