現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む77

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67(3): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/12(木) 08:13:20.22 ID:cMDg8k3q(3/6) AAS
>>66
つづき

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%95%E3%82%A9%E3%83%B3%E3%83%BB%E3%83%8E%E3%82%A4%E3%83%9E%E3%83%B3%E5%AE%87%E5%AE%99
フォン・ノイマン宇宙
(抜粋)
フォン・ノイマン宇宙 Vとは、遺伝的整礎集合全体のクラスである。この集まりは、ZFCによって定義され、ZFCの公理に解釈や動機を与えるためにしばしば用いられる。
整礎集合の階数(rank)はその集合の全ての要素の階数より大きい最小の順序数として帰納的に定義される。
空集合の階数は0で、順序数はそれ自身と等しい階数をもつ。Vの集合はその階数に基づいて超限個の階層に分けられ、その階層は累積的階層と呼ばれる。
Vと集合論
ω を自然数全体の集合とすると、Vωは遺伝的有限集合全体の集合であり、無限公理の成り立たない集合論モデルである。Vω+ωはordinary mathematicsの宇宙であり、ツェルメロの集合論のモデルである。

K が到達不能基数ならば、VKはZFCのモデルである。そして、VK+1はモース-ケリー集合論のモデルである。

V は二つの理由によって、"全ての集合による集合"とは異なるものである。第一に、これは集合ではない。
各階層Vαがそれぞれ集合でも、その和であるVは真のクラスであるからだ。第二に、Vの要素は全て整礎集合に限られている。
正則性公理は全ての集合が整礎的であることを要求していて、だからZFCでは全ての集合がVに属する。
しかし、正則性公理を除いたり否定するような別の公理系を考えることも可能である(例えばen:Aczel's anti-foundation axiom)。
このような非整礎集合の集合論は一般的に採用はされていないが、研究する余地はある。

関連項目
宇宙 (数学)
構成可能集合
グロタンディーク宇宙
到達不能基数
(引用終り)
以上

73(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/09/12(木) 11:19:23.22 ID:2dM7jvB/(4/7) AAS
>>68 追加
http://kururu.hatenabloｇ.com/entry/20060608/1149748301
kururu_goedel’s diary 2006-06-08
正則性公理
(抜粋)
haskellもプログラミングにおける型理論もわかりませんが、正則性公理が型に通じているというのは多分鋭い考察です。ゲーデルがLの構成について講義したときに、まず最初にRから始めるバージョンをやったらしいです。そうすると、ラッセルの型理論に近い形で広がっていきます。
事実、ゲーデルはLの構成をラッセルの理論の拡張だと思っていたようです。これは、このあたりの歴史の本を見ると出ています(=ソース探すの面倒だから各自でお願い)。
もっとも、ZFCの発想自体がラッセルの型理論とは全く相容れないような気もするんですが。ま、ともかく。

むしろ言及したいのは「この公理ってないほうが」の部分でありまして。正則性公理がある意味adhocな公理であることは間違いないです。そして、そのことを攻撃するのは論理的には全く正しいし、ない方が楽しいかもねと言われればおき得ることの範囲が広がるんだから確かにそうかもしれないとしか言いようがありません。

ですが、正則性公理が現代集合論ではとても強力に使われていることだけは主張しておいたほうが良いかと思います。
正則性公理を仮定しない場合には、rankを持たない集合が出てきてしまいます。つまり、rankを用いて超限帰納法を適用することによって全ての集合について何かを証明することができなくなってしまいます。ってことは、例えば強制法とか超べきなんかですら既にいろいろ面倒ですね。
また、集合論ではよくV(集合全体のクラス)に似た構造を持った集合をとってくるのですが、これも正則性公理を使ってやる場合が多いです。例えば、Vκ(rankがκより小さい集合全体の集合)とかをとります。
そして、そのサイズの小さい初等部分モデルをとるのが定石です。このテクニックはおそらく現代集合論で最も重要なものであって、それ抜きでは集合論の議論は全く違ったものになっているでしょう。これに似た話を正則性公理抜きでやる方法が今のところ私には思いつきません。

ってわけで、私は正則性公理があって欲しいなと。もちろん、正則性公理のあるZFC上でエミュレーションしてやるって手はあるかと思うんですが、それはid:nucさんの意図には反しているのではないかと想像します。

119(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/09/13(金) 23:21:51.22 ID:Ct8Lh9wH(13/15) AAS
>>118
つづき

https://en.wikipedia.org/wiki/Urelement
Urelement
(抜粋)
In set theory, a branch of mathematics, an urelement or ur-element (from the German prefix ur-, 'primordial') is an object that is not a set, but that may be an element of a set. Urelements are sometimes called "atoms" or "individuals."

Contents
1 Theory
2 Urelements in set theory
3 Quine atoms

Urelements in set theory
The Zermelo set theory of 1908 included urelements, and hence is a version we now call ZFA or ZFCA (i.e. ZFA with axiom of choice).[1]
It was soon realized that in the context of this and closely related axiomatic set theories, the urelements were not needed because they can easily be modeled in a set theory without urelements.[2]
Thus, standard expositions of the canonical axiomatic set theories ZF and ZFC do not mention urelements. (For an exception, see Suppes.[3])
Axiomatizations of set theory that do invoke urelements include Kripke?Platek set theory with urelements, and the variant of Von Neumann?Bernays?Godel set theory described by Mendelson.[4]
In type theory, an object of type 0 can be called an urelement; hence the name "atom."

つづく

440(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/22(日) 09:10:22.22 ID:adVjb7k7(10/28) AAS
>>428
>あのさ自分勝手に、
>”{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}
>から
>・・,-2n,-n,0,n,2n,・・
>への対応”
>とか、反論になってないわな

では、{・・,-2n,-n,0,n,2n,・・}からどの自然数への対応か、示してごらんｗ

カッコを外すしか能がないテツガクシャの1には逆立ちしても無理だろｗ

>写像の概念をちょっと拡張して、拡張された写像概念を考えればいいだけのこと

貴様は「拡張」を「口先三寸の屁理屈」と認識してるようだが
そういういい加減な処世が、貴様のクソ会社出向の転落人生を
招いたことに気づけｗ

486: １３２人目の素数さん [] 2019/09/22(日) 19:18:03.22 ID:g+51A3D4(14/25) AAS
>Z/NZ = {0, 1, 2, . . . , N − 1}
>であり, これは N 個の元からなる集合である.
これは言い逃れ出来ないなｗ

558: １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/24(火) 18:58:58.22 ID:p/vUWnO4(1/2) AAS
https://www.people.vcu.edu/~rhammack/BookOfProof/Main.pdf
の問題を解いてみよと書いたけれどもスレ主は結局解けなかったみたいね

> Exercises for Section 1.3 A.
(部分集合の列挙)
> 3. {{R}}
> 6. {R, Q, N}
> 7. {R, {Q, N}}

これもヒントになるでしょ
https://math.stackexchange.com/questions/2002828/is-any-set-containing-r-infinite

637(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/09/29(日) 09:10:58.22 ID:WcBxaUNf(1/11) AAS
>>636
有限集合とは「濃度が有限」という定義だから順序は無関係

ついでに言うと｛｝を無限個重ねたものは、正則性公理に反する

あと　maltiplicative　ではなく　multiplicative

P.S.　このスレでは汚名返上は無理だから諦めて一から出直したほうがいい

774(1): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/10(木) 10:38:01.22 ID:K6AlmfoH(2/3) AAS
>>773

追加
http://（URLがNGなので、キーワードでググれ（＾＾）
はてなブログ
女の人のところへ来たドラえもん
数?方式ガロアの理論と現代論理学（その３）
渡辺麻友数?方式ガロアの理論現代論理学 2018-07-09
(抜粋)
それでは、早速なんだけどね。今回は、矢ヶ部巌（やかべ　いわお）『数?方式ガロアの理論』（現代数学社）という本を中心として、数学の冒険をしたいんだ。

結弦「『数?』って、なんですか？」

「あっ、そうよ。結弦は、小学校６年生なのよ」

　そうだったね。この本の書かれた時代の高校では、１年生、２年生、３年生、と上がるにつれて、数?、数?、数?と、名前が付いていた。

『数?方式』

とは、高校３年生の教科書レヴェルで書いてある。という意味なんだよ。

結弦「じゃあ、僕は、６年分、飛び級ですね」

若菜「私も、４年分飛び級。すごい冒険に、なりそうですね」

「太郎さんが言うには、ゼミとかゼミナールという形式で、議論したら良いということなの」

809(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/14(月) 13:51:45.22 ID:keS+8+Fy(1) AAS
>>805

なお、５次の代数方程式が代数的に解けるのは、方程式のガロア群が
彌永先生の本や倉田本では、線形群と書いていたけど、位数20の群になるとき

え？こんなの成立しないよ？
Q上5次のGalois拡大あるけど？

853(2): 現代数学の系譜雑談古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/10/15(火) 20:56:37.22 ID:9ROe+Kvi(3/9) AAS
>>829 補足
(引用開始)
乗法群(Z/nZ)×はいいけど、位数n-1じゃないよ。
たとえばZ/6Zにおける乗法可逆元の類は、1,5の2つのみ。
一般的にはオイラーのφ函数を使ってφ(n)とあらわされる数になる。
(引用終り)

ID:ceRjWFfMさん、レベル高いね
そうそう、そうでした。
なんか、正確に書くのが面倒になって、n＝p（素数）として逃げたけど、
「位数n-1」のところ間違っていたら、”しゃれにならんな”（これ関西では常套句ですが（＾＾）
（大体自分で書くと、タイポや誤記もあるから、コピペベースにしている意味もあるのだが、根本的に自分の理解不十分だったよね、巡回群のこと（＾＾）

つづき

917(1): １３２人目の素数さん [sage] 2019/10/17(木) 08:41:51.22 ID:rXxqe236(6/8) AAS
>>913
1+ζ + ...+ζ ^n-1=0　の証明
S=1+ζ + ...+ζ ^n-1にζを掛けると巡回的に項がずれるが和としては不変であることが観察できる。
すなわち、S=ζS.
　(1-ζ)S=0 で、1-ζ≠0 より S=0.

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