現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む68

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53: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/13(木) 10:10:16.13 ID:fIom6At7

>>52
哀れな素人さん
どうもスレ主です。

(引用開始)
しかし可能無限、可算無限としての自然数は
どこまでも増やすことができ、完結しないのだから、
全体というまとまりがなく、したがって集合とは言えない。
要するに可能無限、可算無限としての自然数は
集合とは言えない。
(引用終わり)

この話、そのままではないですが
現代集合論に「クラス」という概念があって
無制限に集合を考えては、パラドックスになるので、集合を制限すべきであると
考えた人がいます（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
(抜粋)
「全ての集合の集まり」はクラスである。このクラスだが集合でないようなものは真のクラス と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス とも呼ばれる。
例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。

19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた

与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての群からなるクラス、全てのベクトル空間からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を大きい圏という。

集合論では、集合の集まりの多くは真クラスになってしまう。例えば、全ての集合からなるクラス、全ての順序数からなるクラス、全ての基数からなるクラスなど。

パラドックス
ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論のパラドックスは「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。
厳格な基礎付けの下では、これらはパラドックスなのではなくて、ある種のクラスが真クラスであることの証明を示唆するものであると捉えることができる。
ラッセルのパラドックスは「自分自身に属する集合」全体が真のクラスになることを示唆するし、ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなるクラスが真のクラスであることを示唆している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/53

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