現代数学の系譜工学物理雑談古典ガロア理論も読む68

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53: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/13(木) 10:10:16.13 ID:fIom6At7

>>52
哀れな素人さん
どうもスレ主です。

(引用開始)
しかし可能無限、可算無限としての自然数は
どこまでも増やすことができ、完結しないのだから、
全体というまとまりがなく、したがって集合とは言えない。
要するに可能無限、可算無限としての自然数は
集合とは言えない。
(引用終わり)

この話、そのままではないですが
現代集合論に「クラス」という概念があって
無制限に集合を考えては、パラドックスになるので、集合を制限すべきであると
考えた人がいます（下記）

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%A9%E3%82%B9_(%E9%9B%86%E5%90%88%E8%AB%96)
クラス (集合論)
(抜粋)
「全ての集合の集まり」はクラスである。このクラスだが集合でないようなものは真のクラス と呼ばれ、集合となるようなクラス（つまり集合）は小さいクラス とも呼ばれる。
例えば、全ての順序数からなるクラスや全ての集合からなるクラスは、多くの形式体系において真のクラスである。

19世紀以前の多くの"クラス"に関する議論は集合のことを指していた、もしくはもっと曖昧な概念をさしていた

与えられた型の代数的対象全ての集まりは、たいてい真のクラスをなす。例えば、全ての群からなるクラス、全てのベクトル空間からなるクラス、など。圏論では、対象の集まりが真クラスをなすもの（または射の集まりが真クラスをなすもの）を大きい圏という。

集合論では、集合の集まりの多くは真クラスになってしまう。例えば、全ての集合からなるクラス、全ての順序数からなるクラス、全ての基数からなるクラスなど。

パラドックス
ラッセルのパラドックスなどの素朴集合論のパラドックスは「全てのクラスが集合である」という正しくない仮定によって説明される。
厳格な基礎付けの下では、これらはパラドックスなのではなくて、ある種のクラスが真クラスであることの証明を示唆するものであると捉えることができる。
ラッセルのパラドックスは「自分自身に属する集合」全体が真のクラスになることを示唆するし、ブラリ＝フォルティのパラドックスは全ての順序数からなるクラスが真のクラスであることを示唆している。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/53

518: １３２人目の素数さん [sage] 2019/06/13(木) 21:00:03.13 ID:BpkQxrls

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http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/518

676: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE  [sage] 2019/06/14(金) 05:18:15.13 ID:/k5aIfYN

https://ja.wikipedia.org/wiki/%E9%96%A2%E6%95%B0_(%E6%95%B0%E5%AD%A6)
関数 (数学)
(抜粋)
数学における関数とは、かつては、ある変数に依存して決まる値あるいはその対応を表す式の事であった。
この言葉はライプニッツによって導入された。
その後定義が一般化されて行き、現代的には数の集合に値をとる写像の一種であると理解される。

概要
素朴な定式化
二つの変数 x と y があり、入力 x に対して、出力 y の値を決定する規則（x に特定の値を代入するごとに y の値が確定する）が与えられているとき、変数 y を「x を独立変数 (independent variable) とする関数」或いは簡単に「x の関数」という。対応規則を明示するときは、適当な文字列（特に何か理由がなければ、function の頭文字から f が選ばれることが多い）を使って
y=f(x)
のように対応規則に名前を付与する。
この f(x) という表記法は18世紀の数学者オイラーによるものである。
y が x の関数であることの別の表現として、変数 y は変数 x に従属するとも言い、y を従属変数 (dependent variable) と言い表す。
独立変数がとりうる値の全体（変域）を、この関数の定義域 (domain) といい、独立変数が定義域のあらゆる値をとるときに、従属変数がとりうる値（変域）を、この関数の値域 (range) という。

現代的解釈
ディリクレは、 x と f(x) の対応関係に対して一定の法則性を持たせる必要は無いとした。
つまり、個々の独立変数と従属変数の対応そのものが関数であり、その対応は数式などで表す必要はないという、オイラーとは異なる立場をとっている。
集合論的立場に立つ現代数学では、ディリクレのように関数を対応規則 f のことであると解釈する。
それは二項関係の特別の場合として関数を定義するということであり、その意味で関数は写像の同義語である[注釈 2]。
より細かく、「数」の集合への写像に限る場合もある[注釈 3]。

http://rio2016.5ch.net/test/read.cgi/math/1560374890/676

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