[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む63 (1002ﾚｽ)
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83(3): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/01(月) 17:51:49.18 ID:8klxyqsn(7/9) AAS
>>82
つづき
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%AF%E3%83%AD%E3%82%B9%E7%A9%8D
クロス積
(抜粋)
ベクトル積（英語: vector product）とは、ベクトル解析において、3次元の向き付けられた内積空間において定義される、2つのベクトルから新たなベクトルを与える二項演算である。2つのベクトル a、b のベクトル積は a×b や [a,b] で表される。演算の記号からクロス積（cross product）と呼ばれることもある。
2つのベクトルからスカラーを与える二項演算である内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれるが、英語でouter productは直積を意味するので注意を要する。ベクトル積を拡張した外積代数があり、ベクトル積はその3次元における特殊な場合である。
外積は2階の反対称テンソルであり、これはホッジ作用素により、n 次元では n - 2 階の擬テンソルに写像できる。つまり、2次元では擬スカラー（0階の擬テンソル）、3次元では擬ベクトル（1階の擬テンソル）に写像できるが、4次元以上ではテンソルとして扱うしかない。
外積（ドイツ語でauseres Produkt）は、グラスマンによって導入されたが、当時はそれほど注目されず、彼の死後に高く評価された。
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E5%A4%96%E7%A9%8D%E4%BB%A3%E6%95%B0
外積代数
数学におけるベクトルの外積（がいせき、英語: exterior product）あるいは楔積（くさびせき、ウェッジ積、英語: wedge product）はクロス積をある特定の性質に着目して、より高次元の場合へ一般化する代数的な構成である。クロス積やスカラー三重積のようにベクトル同士の外積はユークリッド幾何学において面積や体積およびそれらの高次元における類似物の研究に用いられる。
外積代数（がいせきだいすう、英語: exterior algebra）は、ヘルマン・グラスマンに因んでグラスマン代数（グラスマンだいすう、英語: Grassmann algebra）[1]としても知られ、与えられた体 K 上のベクトル空間 V 上の外積によって生成される多元環である。多重線型代数やその関連分野と同様に、微分形式の成す多元環を通じて現代幾何学、特に微分幾何学と代数幾何学において広く用いられる。
つづく
84(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/01(月) 17:52:30.76 ID:8klxyqsn(8/9) AAS
>>83
圏論の言葉で言えば、外積代数は普遍構成によって与えられる、ベクトル空間の圏上の函手の典型である。
この普遍構成によって、体上のベクトル空間だけに限らず、可換環上の加群やもっとほかの興味ある構造にたいしても外積代数を定義することができる。
外積代数は双代数のひとつの例である。つまり、外積代数の（ベクトル空間としての）双対空間にも乗法が定義され、その双対的な乗法が楔積と両立する。
この双対代数は特に V 上の重線型形式全体の成す多元環で、外積代数とその双対代数との双対性は内積によって与えられる。
交代テンソル代数
K を標数 0 の体とする[12]とき、ベクトル空間 V の外積代数はテンソル空間 T(V) の交代テンソル全体の成す部分空間と自然に同一視される。
(引用終わり)
以上
85: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/01(月) 18:11:41.89 ID:8klxyqsn(9/9) AAS
>>84 追加
大事なテンソル積が抜けたので追加です（＾＾
下記のテンソル積と、>>83 の三次元 ベクトル積（英語: vector product）（内積に対して外積（がいせき）とも呼ばれる）とで、結構混乱させられて記憶がある
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%83%86%E3%83%B3%E3%82%BD%E3%83%AB%E7%A9%8D
テンソル積
数学におけるテンソル積（テンソルせき、英: tensor product）は、線型代数学で多重線型性を扱うための線型化を担う概念で、既知のベクトル空間・加群など様々な対象から新たな対象を作り出す操作の一つである。そのようないずれの対象に関しても、テンソル積は最も自由（英語版）な双線型乗法である。
共通の体 K 上の二つの ベクトル空間 V, W のテンソル積 V ?K W（基礎の体 K が明らかな時には V ? W とも書く）はふたたびベクトル空間を成す。ベクトル空間のテンソル積を繰り返して得られるテンソル空間は物理的なテンソルを数学的に定式化する。テンソル空間に種々の積を入れてさまざまな多重線型代数・クリフォード代数が定式化されるが、その基本となる演算がテンソル積である。
目次
1 定義
1.1 基底を用いた定義
1.2 商としての定義
1.3 記法について
2 普遍性
3 線型写像のテンソル積
4 双対空間との関係
5 テンソル積と Hom の随伴性
6 種々のテンソル積
7 応用
7.1 係数拡大
7.2 表現のテンソル積
7.3 テンソル冪
7.4 テンソル空間
7.5 対称積・交代積
87(1): ◆QZaw55cn4c [sage] 2019/04/01(月) 18:56:54.10 ID:hMfnj/DG(2/3) AAS
>>83
＞ヘルマン・グラスマンに因んで
古代語を好んでやっている私としては、こういうところにグラスマンの名前をみるとうれしい、この人はたしかサンスクリットの人だったかと
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