[過去ﾛｸﾞ] 現代数学の系譜 工学物理雑談 古典ガロア理論も読む63 (1002ﾚｽ)
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184(5): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/05(金) 11:45:50.26 ID:VayTWyHw(3/15) AAS
>>178
層→圏→トポス→高階論理→ゲーデルの加速定理
かな。層を扱うことで、思わず知らず、”高階論理→ゲーデルの加速定理”の世界に入っているということかも
グロタン先生の時代は、圏論が今ほど十分整備されていなかったが、グロタン先生はきっと圏論の”高階論理→ゲーデルの加速定理”を先取りしていたんだろうね（＾＾
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
ゲーデルの加速定理（ゲーデルのかそくていり、英: Godel's speedup theorem）は Godel (1936)で証明された。この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。
クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
（参考）
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/j-index.html
斎藤 毅のホームページ
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd.html
和文刊行物 斎藤 毅
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/gr.pdf
グロタンディーク 数学セミナー2010年5月号
(抜粋)
グロタンディークほど、多くの伝説が語られた
20 世紀の数学者はいないだろう。しかしここで書き
たいのは、私にとってのグロタンディークである。
それは、今では遠い学生のころ、来る日も来る日も
読みふけった、Tohoku、EGA、SGA の著者である。
グロタンディークがこれらを書いたのは、1950
年代末から60 年代末にかけての10 数年という、仕
事の膨大さに比べれば、かなり短い時間である。グ
ロタンディークは、1928年3月28日生まれなので、
20 代後半から30 代にかけての業績である。
つづく
185(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/05(金) 11:47:12.37 ID:VayTWyHw(4/15) AAS
>>184
つづき
数学的な内容を項目としてあげれば、
１． 層とコホモロジー（Tohoku）
２． スキーム（EGA）
３． 基本群（SGA1）
４． エタール・コホモロジー（SGA4，5）
５． リーマン・ロッホ（SGA6）
６． モノドロミー（SGA7）
である。これらはいずれも、現在の代数幾何、ある
いは数論幾何の基礎と位置づけられている。それに
とどまらず、数学全般にわたる影響を与えたものも
多い。どれをとっても、グロタンディークならでは
の、独創的な業績である。これが 10 年あまりとい
う時間に、次々と生み出されていったということは、
事実ではあるが、信じがたいことでもある。
この時期のグロタンディークについては、以前
本誌の記事「現代代数学の歩み・セール」(2005 年
3 月号)で紹介した、「グロタンディーク・セール交
信録」に収録されている2 人の手紙のやりとりから
も、大変興味深い内容をうかがい知ることができる。
モチーフや遠アーベル幾何、p 進コホモロジー
といった有名な業績が、リストからもれていること
に気づかれた読者もいるだろう。
つづく
189: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/05(金) 13:20:21.87 ID:VayTWyHw(8/15) AAS
>>184 補足
付録追加
https://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/UPcal.pdf
斎藤 毅
「 微積分 」 東京大学出版会 訂正(2014.5.29)
微積分--イプシロン・デルタは今もむかしも 難しい？(「UP」2013年10月) pdf
(抜粋)
東京大学出版会から数学の教科書をまた出してもらった。
こんどは微積分である。
「わたし的には、この二冊で完結してい」た
（ 「集合と位相―計算しない数学―」 『ＵＰ』二〇〇九年一〇月号
http://www.ms.u-tokyo.ac.jp/~t-saito/jd/UP.pdf）
のではと、『ＵＰ』の読者の方にはつっこまれそうだ。その辺のいいわ
けなどを書いてみよう
(引用終わり)
191(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/05(金) 13:56:49.10 ID:VayTWyHw(9/15) AAS
>>184 追加
ind-object：インド象？ｗ（＾＾
https://ncatlab.org/nlab/show/ind-object
nLab
ind-object Last revised on April 12, 2018
Contents
1. Idea
2. Definition
As diagrams
As filtered colimits of representable presheaves
3. Examples
4. Properties
The category of ind-objects
Recognition of Ind-objects
Functoriality
The case that C already admits filtered colimits
5. Applications
6. In higher category theory
In (∞,1)-categories
7. Related concepts
8. References
(抜粋)
1. Idea
An ind-object of a category C is a formal filtered colimit of objects of C. Here “formal” means that the colimit is taken in the category of presheaves of C (the free cocompletion of C). The category of ind-objects of C is written ind-C or Ind(C).
Here, “ind” is short for “inductive system”, as in the inductive systems used to define directed colimits, and as contrasted with “pro” in the dual notion of pro-object corresponding to “projective system”.
Their ind-categories contain then also the infinite versions of these objects as limits of sequences of inclusions of finite objects of ever increasing size.
Moreover, ind-categories allow one to handle “big things in terms of small things” also in another important sense: many large categories are actually (equivalent to) ind-categories of small categories.
This means that, while large, they are for all practical purposes controlled by a small category (see the description of the hom-set of Ind(C) in terms of that of C below). Such large categories equivalent to ind-categories are therefore called accessible categories.
8. References
Ind-categories were introduced in
http://sage.math.washington.edu/home/wstein/www/home/craigcitro/sga4/Grothendieck/SGA4/sga41.pdf
Alexander Grothendieck, Jean-Louis Verdier in SGA4 Exp. 1 pdf file
つづく
282: 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [] 2019/04/07(日) 14:34:21.56 ID:7V7EuNib(16/37) AAS
メモ
topos＝高階論理→加速定理（>>184）
https://en.wikipedia.org/wiki/History_of_topos_theory
History of topos theory
This page gives some very general background to the mathematical idea of topos.
This is an aspect of category theory, and has a reputation for being abstruse. The level of abstraction involved cannot be reduced beyond a certain point; but on the other hand context can be given. This is partly in terms of historical development, but also to some extent an explanation of differing attitudes to category theory.[citation needed]
Contents
1 In the school of Grothendieck
2 From pure category theory to categorical logic
3 Position of topos theory
4 Summary
5 References
430(1): 現代数学の系譜 雑談 古典ガロア理論も読む ◆e.a0E5TtKE [sage] 2019/04/11(木) 07:27:17.60 ID:SCIZmoFu(2/3) AAS
>>428
>ゲーデルの加速定理は圏とも高階論理とも無関係
(>>184より)
https://ja.wikipedia.org/wiki/%E3%82%B2%E3%83%BC%E3%83%87%E3%83%AB%E3%81%AE%E5%8A%A0%E9%80%9F%E5%AE%9A%E7%90%86
ゲーデルの加速定理
ゲーデルの加速定理（ゲーデルのかそくていり、英: Godel's speedup theorem）は Godel (1936)で証明された。この定理によれば、弱い形式的体系では非常に長い形式的証明しか存在しないが、より強い形式的体系では極めて短い形式的証明が存在する、というような文が存在する。
クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
(引用終り)
ゲーデルの加速定理
↓
クルト・ゲーデルはそのような性質を持つ文を具体的に構成した。それはn階算術の体系で証明可能な命題であってn+1階算術ではより短い証明を持つものが存在するというものである。
↓
高階論理
↓
圏論
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